湖南省湘潭市河口中学高三数学文联考试题含解析

湖南省湘潭市河口中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据三视图可知该几何体是球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出球与三棱锥的体积，从而可得结果．【详解】根据三视图可知，该几何体是半径为2的球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为,故选D．【点睛】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.2.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：D略3.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且，则A. B. C. D.参考答案：B略4.已知函数的图象是下列两个图像中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若，且，则（▲

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.（5分）已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（

）

A．B．C．D．参考答案：A【考点】：函数的图象．函数的性质及应用．【分析】：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．解：∵函数f（x）=，则y=f（2﹣x）=，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A．【点评】：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．6.已知函数，则（

）A.3 B.5 C.6 D.32参考答案：C【分析】将代入函数解析式求得结果即可.【详解】由题意得：本题正确选项：【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到对数的运算，属于基础题.7.对两个变量y和x进行线性回归分析，得到一组样本数据：则下列说法中不正确的是

（

）

A．由样本数据得到线性回归方程为必过样本点的中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高。参考答案：C8.双曲线的渐近线方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=lnx+2x﹣6 D．f（x）=sinx参考答案：D【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．A．∵f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件①B．∵f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②C．∵f（x）=lnx+2x﹣6的定义域（0，+∞）不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故不满足条件①D．∵f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据程序框图分析出程序的功能是解答的关键．10.已知，实数满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（

）A． B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（），动点P（x，y）满足且，则点P到点C的距离大于的概率为

．参考答案：【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），∴动点P（a，b）满足0≤≤2且0≤?≤2，∴，z=（a﹣）2+（b）2，∴作出不等式组对应的平面区域如图：∵点P到点C的距离大于，∴|CP|，则对应的部分为阴影部分，由解得，即E（，），|OE|==，∴正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为π，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用数量积将不等式进行转化，求出相应区域的面积是解决本题的关键．12.设正项等比数列的前项和为，若，则

；参考答案：9在等比数列中，也成等比数列，即成等比，所以，所以，所以或（舍去）.13.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”；③余弦函数y=f（x）可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是

（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用；3O：函数的图象．【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．【解答】解：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，注意函数是奇函数，即可得到结果．①是“优美函数”．②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”；因为函数f（x）=ln（x+）是奇函数，满足优美函数的定义，所以②满足题意；③余弦函数y=f（x）=cosx是偶函数，不可以同时是无数个圆的“优美函数”；所以③不正确．④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）是奇函数，它的图象是中心对称图形．所以④满足题意．故答案为：①②④．14.函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算即可．【解答】解：∵，∴函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为+=+=．故答案为：．15.若是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为

．参考答案：

16.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为

．

参考答案：略17.不等式的解集是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tan(﹣C)=﹣2（1）求角C的大小；（2）若c=且a+b=5求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用两角和与差的正切函数，求出tanC的值，即可求出∠C；（2）先利用c2=a2+b2﹣2abcosC，求出ab，然后根据△ABC的面积公式absinC，求出面积．【解答】解：（1）∵∴（2分）∴∵在△ABC中，0＜C＜π∴（2）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab（8分）∴ab=6∴．（12分）【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数和三角形的面积公式，注意巧用两角和与差的正切函数，求出tanC的值．19.已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．求C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：运用同角的平方关系，可得C1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C2的直角坐标方程，联立方程组，可得交点，再由直角坐标和极坐标的关系，即可得到所求点的极坐标．解答：解：将消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，所以C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．由ρcos（θ+）=2，即为（ρcosθ﹣ρsinθ）=2，则曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．

由，解得或，所以C1与C2交点的极坐标分别为（4，0）或（2，）．点评：本题考查参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，同时考查曲线交点的求法，考查运算能力，属于基础题．20.如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．参考答案：考点：分析法和综合法．专题：计算题；证明题．分析：（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．解答： （Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=AB，∵在正△ABC中，AD=AC，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．…（Ⅱ）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，∵AE=AB，∴AG=GE=AB=，∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…点评：本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题．21.(本题满分１４分)已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、…、恰为等比数列，且，，.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若数列的前项和为，求.参考答案：（1）为公差不为，由已知得，，成等比数列，∴

，……………1分得或

……………2分若，则为，这与，，成等比数列矛盾，所以，

……………4分所以.

……………5分（2）由（1）可知∴

……………7分而等比数列的公比。

……………9分因此，∴

……………11分∴

……………14分22.（本小题共13分）已知，．（Ⅰ）求的值；