上海黎鸣高级中学高三数学理知识点试题含解析

上海黎鸣高级中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是（

）A．12cm3

B．cm3

C．cm3

D．cm3参考答案：B2.已知双曲线的两条渐近线的夹角为90°，则双曲线的离心率为A、B、C、D、参考答案：C由已知可知双曲线是等轴双曲线，于是，故．3.已知f（x）=（a＜0），定义域为D，任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，则实数a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】求出函数的定义域，根据任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，得到函数的最大值为2，解方程即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则a（x﹣1）（x﹣3）≥0，∵a＜0，∴不等式等价为（x﹣1）（x﹣3）≤0，即1≤x≤3，∴定义域D=[1，3]，∵任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f（1）=f（3）=0，∴函数的最大值为2，即a（x﹣1）（x﹣3）的最大值为4，设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）=ax2﹣4ax+3a，∴当x=2时，f（2）=﹣a=4，即a=﹣4，故选：D．4.已知全集，集合则集合中的元素的个数为

(

)A.1

B.1

C.3

D.4参考答案：【知识点】集合的运算

A1Ｂ因为集合，所以，求得，所以，故选择Ｂ.【思路点拨】先求得集合，可得，根据补集定义求的其补集.5.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31

B．32

C．63

D．64参考答案：C

【知识点】等比数列

D3解析：设等比数列{an}的首项为a，公比为q，易知q≠1，根据题意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63.【思路点拨】由已知条件可求出公比，再利用求和公式直接求出数值.6.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知，则A． B． C． D．参考答案：A依题意有，可得，，.

7.已知关于的方程的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若A. B. C.6 D.8参考答案：D略9.函数(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为(

).A.

B.0

C.－1

D.参考答案：A10.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，现有一个为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面.现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I和养殖区域II.若，，.求所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的最大值为

.参考答案：12.如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．参考答案：7500略13.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．参考答案：25【分析】设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．【详解】椭圆C：的右焦点F（2，0），左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，可得﹣2≤8﹣2≤2，解得，所以,①又A在椭圆内，所以,所以8m-16<m(m-4),解得或,与①取交集得故答案为25．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14.设x，y∈R，若不等式组所表示的平面区域是一个锐角三角形，则的取值范围是

______

．参考答案：15.以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题p、q、r满足“p或q”真，“或r”也真，则“q或r”假；③若，则使得恒成立的x的取值范围为{或}；④将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为.其中真命题的序号为________.参考答案：①③④【分析】①中，根据对数函数的运算性质，即可判定；②中，根据复合命题的真假判定方法，即可判定；③中，令，转化为在恒成立，即可求解；④中，根据几何体的结构特征和椎体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，①中，当，根据对数函数的运算性质，可得，反证，当时，可得，所以“”是“”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““或”真”，可得命题中至少有一个是真命题，当为真命题，则假命题，此时若“或”真，则命题为真命题，所以“或”真命题，所以不正确；③中，令，则不等式恒成立转化为在恒成立，则满足，即，解得或，所以是正确的；④中，如图所示，O为AC的中点，连接DO，BO，则都是等腰直角三角形，，其中也是等腰直角三角形，平面，为三棱锥的高，且，所以三棱锥体积为，所以是正确的，综上可知真命题的序号为①③④【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充要条件的判定、复合命题的应用，不等式的恒成立问题的求解，以及折叠问题求几何体的体积等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.按如下程序框图运行，则输出结果为______．

参考答案：170略17.若实数满足，则的最小值为________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（I）由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而得到圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．（II）由MN∥OQ，知△QMN的面积=△OMN的面积，由此能求出△QMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设圆P的半径为R，圆心P的坐标为（x，y），由于动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，所以动圆P与圆F1只能内切．…所以|PF1|+|PF2|=7﹣R+R﹣1=6＞|F1F2|=4．…所以圆心圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，b2=a2﹣c2=5．所以曲线C的方程为=1．…（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线MN的方程为x=my+2，由可得：（5m2+9）y2+20my﹣25=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣．…

所以|MN|==

…

因为MN∥OQ，∴△QMN的面积=△OMN的面积，∵O到直线MN：x=my+2的距离d=．…所以△QMN的面积．…令=t，则m2=t2﹣1（t≥0），S==．设，则．因为t≥1，所以．所以，在[1，+∞）上单调递增．所以当t=1时，f（t）取得最小值，其值为9．…所以△QMN的面积的最大值为．…19.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.参考答案：（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【分析】（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【详解】解：（1）由题意知甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为.众数为330.（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则当时，当时，当时，当时，当时，的分布列为204219228273291

（元）；（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元)由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元).【点睛】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.20.（1）求证：对于任意实数x，y，z都有.（2）是否存在实数，使得对于任意实数x，y，z下式恒成立？试证明你的结论.参考答案：（1）由均值不等式，，，.故.（2）上式恒成立当且仅当且.化简得且.显然，满足要求.21.已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（I）求的值（Ⅱ）求在区间上的最小值.参考答案：解：（I）因为所以在函数的图象上又，所以所以

………………3分（Ⅱ）因为，其定义域为

………………5分当时，，所以在上单调递增所以在上最小值为

………………7分当时，令，得到(舍)当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为………………9分当时，即时,对成立，所以在上单调递减，其最小值为

………………11分

当,即时,对成立,对成立

所以在单调递减,在上单调递增

其最小值为………13分综上，当时，

在上的最小值为

当时，在