第12题数量积与三角恒等变换结合问题 2024年高中数学三轮复习之一题多解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第12题数量积与三角恒等变换结合问题【汇西省赣州市2024届高三上期末T8】已知是圆上两个不同点．若，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．根据数量积的定义得到向量的夹角为，利用圆上点的参数表示坐标，借助三角恒等变换，依托单变量思想实现代数式取值范围的求解．解：，且．因为，且，所以向量的夹角为．如图．设，不妨设，则，其中．为负锐角，且为定值．因为，所以．故选D．（上海市闵行区2023届高三一模数学试题）1．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为．（浙江省杭州师大附中2020届高三下学期考前模拟数学试题）2．已知点，是椭圆两个不同的动点，且满足，则的值是．（上海市崇明区2024届高三二模数学试题）3．已知实数满足：，则的最大值是．根据数量积的定义得到向量的夹角为，利用平面向量的和运算坐标表示，借助三角恒等变换，依托单变量思想实现代数式取值范围的求解．解：，且．因为，且，所以向量的夹角为．如图．记，则．由于，则，故点在圆上．不妨设，则，，因为，所以．故选D．（北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末练习数学试题（二卷））4．已知、满足：，，，则代数式的取值范围是.（2023高三·全国·专题练习）5．（多选题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧（包含B，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为4D．的最小值为（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）6．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为．（上海市复旦大学附属中学青浦分校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题）7．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则的最大值为.（重庆市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题）8．已知满足：，则代数式的取值范围是．（22-23高一下·辽宁大连·期中）9．在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（

）A． B． C． D．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）10．正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，，则（

）A．最大值为 B．最大值为1C．的最大值为 D．最大值是（数学奥林匹克高中训练题（152））11．已知单位圆上三个点，，满足.则.（22-23高一下·江苏·阶段练习）12．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（

）A． B．的最大值为6C． D．若，E．满足的点有一个（2024·广东·模拟预测）13．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（

）

A．B．C．存在最大值D．的最大值为答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．【分析】由已知，根据题意，写出圆的参数方程，然后将A、B两点坐标表示成参数方程形式，并根据的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数化简即可求解最大值.【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数），因为、是圆上的两个不同的动点，可令（），（），且，所以、，由可得：，又因为，所以，所以所以，当时，取得最大值.故答案为：.2．2【分析】设，根据题设条件，求得，不妨设，即可求解.【详解】由题意，点，是椭圆两个不同的动点，可设，则，所以，所以，不妨设，则.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及三角函数的性质的应用，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.3．6【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解.【详解】因为故令，且，因为，所以，所以，仅当时等号成立.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角换元及三角方程，结合三角函数的性质即可.4．【分析】分析可知，、在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围.【详解】设、，，，，故、在圆上，且，其中为坐标原点，因为，则，因为，则是腰长为的等腰三角形，且，（1）当点、在直线的同侧时，设直线交圆于、两点，如下图所示：

记，，记，则，其中，则，，所以，，因为，则，所以，，则；（2）当点、在直线的异侧时，设直线交圆于、两点，如下图所示：

记，，记，则，其中，则，，所以，，因为，则，则，则；（3）当点、中有一点在直线上时，

则.综上所述，代数式的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：（1）：表示点与点连线的斜率；（2）：表示点到点的距离；（3）：表示点到直线的距离的倍.5．ACD【分析】以AB，AD所在直线为x，y轴建立直角坐标系，设，转化为三角函数求解.【详解】分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则，设，，则，，，，，，由条件知：，，，故A正确，B错误．，，故C，D正确．故选：ACD6．15【分析】根据题意，写出圆的参数方程，然后将两点坐标表示成参数方程形式，并根据的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数的性质即可求解最大值.【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数），因为、是圆上的两个不同的动点，可令，；，，且，所以、，由可得：，又因为，所以，所以，其中，，所以，当时，取得最大值15.故答案为：15.7．【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，化简，即可求解.【详解】令，且，且，所以，因为，可得，可得，又因为，所以，即所以，所以的最大值为.故答案为：.8．．【分析】分析可知，在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围.【详解】设直线与单位圆交于两点，则点到直线的距离为；点到直线的距离为，因为，所以，①当在直线的同侧时，记则，，，，，则，，∴，②当在直线的异侧时，记则，，,，，则，，∴③当中有一点在直线上时，则综上知，的取值范围是．故答案为：．9．BCD【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在中，，，，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，因为为内任意一点（含边界），且，设点，，，所以，，为锐角，且，因为，则，由可得，由得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，又因为，，则，故选：BCD.10．BCD【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定.【详解】以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：设，，因为，，，，，所以，，，因为，所以，所以，解得，因为，则，，因为，所以时，取最大值1，B正确；，其中，，为锐角，当，即时，取最大值，故A错误；因为，所以，其中，当，即时，取到最大值为，C正确；，其中，，为锐角，当，即时，取最大值，D正确.故选：BCD11．【详解】设，，，，.由题设知的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故，.故答案为12．BCD【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；利用向量数量积的坐标表示转化为求三角函数的值域可判断B；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断C；根据得到可判断D；令，得到可判断E.【详解】由题意，以为原点，以平行于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，，，，设，，则，，，，，对于A，，故A错误；对于B，，，，，的最大值为6，故B正确；对于C，，，，故C正确；对于D，若，则，，故D正确；对于E，当时，即，解得，，或，即符合条件的点有两个，故E错误.故选：BCD.13．ABCD【分析】对于A、B，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C、D，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判