人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解

#专题14.3因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.因式分解方法提公因式法：找岀最大公因式.公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式:/±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.TOC\o"1-5"\h\z【例题1】因式分解：ab-a= •【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )A.(4M1)(4a-1) B・(2M1)(2”1)C.(2a-1)2 D・(2亦1)2【例题3］分解因式3/-27/= .【例题4】分解因式：xf-2xy^x= .【例题5】因式分解：/-9= .【例题6】分解因式： ・选择题a'b-6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A.a"b(a*-6a+9)B・a-b(a-3)(a+3)C・b(a"-3)D・a"b(a-3)把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是()A・(x-3)2B・(x-9)=C・(x+3)(x-3)D・(x+9)(x-9)多项式77x:-13x-30可因式分解成(7x+a)(bx+c儿其中a>b、c均为整数，求a+b+cTOC\o"1-5"\h\z之值为何？( )A.0B・10C・12D・22已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为X3-4,乙与丙相乘为x=+15x-34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B・2x-19C・2x+15D・2x-15把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A.2a(4a:-4a+l)B・8a:(a-1)C.2a(2a-1)2D・2a(2a+l)2多项式77x"-13x-30可因式分解成(7x-ra)(bx+c)，其中a.bc均为整数，求a+b+c之值为何？( )A.0 B・10 C・12D・22已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为xc-4,乙与丙相乘为x=+15x-34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B.2x-19C・2x+15D.2x・15把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1)(x-3)则a,b的值分别是( )A.a=2tb=3B・a=-2,b二・3C・a=-2,b=3D・a=2,b=-3分解因式：16-丘二( )A.(4-x)(4+x)B・(x-4)(x+4)C.(8+x)(8-x)D.(4-x):将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A.a"-1B・a"+aC・a"+a-2D・(a+2)"-2(a+2)+1二、 填空题TOC\o"1-5"\h\z分解因式：1-¥= .分解因式：3a'b十6卅二 ・分解因式X3—9x= 10114•已知实数x满足x+_=3,则x2+—的值为 -X X15•因式分解：£・6a+9二 ・分解因式：2^2-8/= .因式分解：a2-2a= .分解因式：x2+x-2= ・分解因式.4丘一9二 ・分解因式：a^b—ab= ・分解因式：ax=-ay== .分解因式：a-16a= ・把多项式9a5-ab：分解因式的结果是 .•把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是 .分解因式3ml-48= ・26・分解因式：ab1-4ab:+4ab:= ・27.分解因式：(m+1)(m-9)+8m二 ・28•将/(x-2)+加(2-.y)分解因式的结果是 三、 解答题29•已知a+b二3,ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.专题14.3因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.因式分解方法提公因式法：找岀最大公因式.公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式:/±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= •【答案】a(6-1).【解析】提公因式a即可.ab-a=a(.b■1)・【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.【例题2】把多项式4/-1分解因式，结果正确的是( )A.(4亦1)(4a-1) B.(2M1)(2”1)C.(2a-1)2 D・(2M1)2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6)(a-b)i完全平方公式：a:±2aM6:=(a±b)5：4a:-1=(2a+l)(2a-1),【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。【例题3】分解因式3/-27/= •【答案】3(a+3『)Cx-3y)【解析】原式提取3,再利用平方差公式分解即可.原式=3(x-9y)=3(时3y)(;r-3y),【点拨】此题考査了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.【例题4】分解因式：2-2^= •【答案】x(y-1)1【解析】2-2羽七，=x(/・2yH),=x(y-1)=.【点拨】提取公因式和完全平方公式结合。【例题5】因式分解：y-9= .【答案】(#3)(JT-3).【解析】原式利用平方差公式分解即可.原式=(■计3)(.Y-3)【点拨】直接利用公式。【例题6】分解因式：.【答案】a(对2)(a-2).【解析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.ax-4a,=aCf・4),=a(对2〉(x-2).【点拨】本题考査用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.—如川练题选择题a'b-6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A.a'b(a~-6a+9)B.a~b(a-3)(a+3)C.b(a'-3)D.a~b(a-3)【答案】D【解析】提公因式法与公式法的因式分解。要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取岀来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，a*b-6a5b+9a:b=a:b(a:-6a+9)=a:b(a-3)=<.故选D。把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是()A.(x-3): B.(x-9):C.(x+3)(x-3)D.(x+9)(x-9)【答案】A【解析】原式利用完全平方公式分解即可.X'-6x+9二(x-3):多项式77x:-13x-30可因式分解成(7x+a)(bx+c)，其中a、b■,c均为整数，求a+b+c之值为何？( )A.0B.10C.12D.22【答案】C【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意ax=+bx+c(aHO)型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a’，a：的枳a；・a：,把常数项c分解成两个因数s,c：的积C1-c：,并使axCz+acCtiE好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax"+bx+c=(aix+ci)(a：x+cz)・首先利用十字交乘法将77x=-13x-30因式分解，继而求得a,b,c的值.利用汁字交乘法将77x=-13x・30因式分解，可得：77x--13x-30=(7x-5)(llx+6).a=・5,b二11.c=6>则a+b+c-(-5)+11+6=12.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为xc-4,乙与丙相乘为x2+15x-34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B・2x-19C・2x+15D・2x-15【答案】A【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解.Vx£・4二(x+2)(x-2),x2+15x-34=(x+17)(x-2)••••乙为x・2,甲为x+2•丙为x+17»•••甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A.2a(4a:-4a+l)B・8a:(a-1)C.2a(2a-1)2D・2a(2a+l)2【答案】c【解析】首先提取公因式2a,进而利用完全平方公式分解因式即可.8a3・8a:+2a=2a(4a"-4a+l)=2a(2a-1)1多项式77x:-13x-30可因式分解成(7x+a)(bx+c)，其中a.b、c均为整数，求a+b+c之值为何？( )A.0 B・10 C・12D・22【答案】c【解析】此题考査了十字相乘法分解因式的知识.注意ax：+bx+c(aHO)型的式子的因式分解:这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a’，a：的积a’・a：,把常数项c分解成两个因数6,c：的积c,・c=,并使aic:+a;C1正好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax"+bx+c二(aix+ci)(a：x+c2)・首先利用十字交乘法将77x=-13x-30因式分解，继而求得a,b,c的值.利用才字交乘法将77x:-13x・30因式分解，可得：77x'・13x・30=(7x-5)(llx+6).a=-5,b=ll,c=6,则a+b+c-(・5)+11+6=12・已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为xc-4,乙与丙相乘为x=+15x-34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x+19B・2x-19C・2x+15D.2x・15【答案】A【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确泄甲与丙，再把甲与丙相加即可求解.VX-・4二(x+2)(X・2),x:+15x-34=(x+17)(x-2)••••乙为x-2,甲为x+2>丙为x+17»•••甲与丙相加的结果x+2+x+17二2x+19・把多项式x：+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)则a,b的值分别是( )A.a=2tb=3B・a=-2,b=-3C・a=-2>b=3D・a=2,b=-3【答案】B【解析】本题考査了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则.因式分解的应用.运用多项式乘以多项式的法则求出(x+l)(x-3)的值，对比系数可以得到a,b的值.•/(x+1)(x-3)=xex-x・3+l・x-1X3=x*-3x+x-3=x*-2x-3x:+ax+b=x:-2x-3•\a=•2fb=-3.分解因式：16-x==( )A.(4-x)(4+x)B・(x・4)(x+4)C・(8+x)(8-x)D・(4-x)2【答案】A【解析】宜接利用平方差公式分解因式得出答案.16-x:=(4-x)(4+x).将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A.a"*1B・a"+aC・a"+a-2D・(a+2)"-2(a+2)+1【答案】C【解析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果.Ta■1=(a+1)(a-1)ta"+a=a(a+l)>a"+a"2=(a+2)(a-1)♦(a+2)'•2(a+2)+1=(a^2-1)"-(a+1)•••结果中不含有因式a+1的是选项C°二、填空题分解因式：1-/= .【答案】(l+jv)(lr)・【解析】分解因式中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可.解：1-Z=(1+.Y)(1--Y).【点拨】本题考査了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键.12•分解因式：3Jb+6ab匚 ・【答案】3ab(a+2b)o【解析】观察可得此题的公因式为：3ab,提取公因式即可求得答案：3a:b-6ab:=3ab(a-2b)。13.分解因式x‘一9x二 【答案】x(x+3)(x-3)。【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取岀来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，x3-9x=x(x2_9)二x(x+3)(x-3)1.114•已知实数x满足x+_二3,则x2+—的值为 X【答案】7TOC\o"1-5"\h\z1 1 I / 1【解析】Tx+±=3,・・・x2+4=x2+A+2-2=；x+— -2=3?-2=7X X・ X・ kx；因式分解：a-6a+9= ・【答案】(a-3)1【解析】本题是一个二次三项式，且/和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解.a"-6a+9=(a-3)分解因式：-8/= .【答案】2(x+2y)(x-2y).【解析】观察原式2.?-8/,找到公因式2,提出公因式后发现厂4/符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得.2.y:-8y==2(.x:-4yz)=2(x+2y)(x-2y).TOC\o"1-5"\h\z因式分解：a2-2a= .【答案】a(a-2)。【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取岀来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，a2-2a=a(a-2)分解因式：x2+x-2= .【答案】(x-l)(x+2)。【解析】十字相乘法因式分解。因为(一1)X2=-2,2-1=1,所以利用十字相乘法分解因式即可：x：+x—2=(x—1)(x+2)。分解因式.4x=-9= .【答案】(2x+3)(2x-3)。【解析】直接应用平方差公式即可：4x2-9=(2x+3)(2x-3)e分解因式：a'b—ab= .【？？系】ab(a+l)(a—1)»【解析】提公因式法和应用公式法因式分解。要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看外项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，a3b-ab=ab(a2-l)=ab(a+l)(a-l)分解因式：ax2-ay== .【答案】a(x+y)(x-y).【解析】应先提取公因式/再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.ax"-ay\=a(x:-y2)>=a(x+y)(x-y)・TOC\o"1-5"\h\z22・分解因式：，一16a= ・【答案】a(a+4)(a—4).【解析】先提取公因式，再运用平方差公式分解：<-16a=a(J-16)=a(a+4)(4).把多项式9a5-ab：分解因式的结果是 •【答案】a(3a+b)(3a-b).【解析】首先提取公因式9a,进而利用平方差公式法分解因式得出即可.9a3-ab:=a(9a:-b:)=a(3a+b)(3a-b).把多项式ax：+2a：x+a，分解因式的结果是 .【答案】a(x+a)：【解析】首先提取公因式a,然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可.ax:+2a:x+a3(x:+2ax+a:)=a(x+a):分解因式3m1-4