专题04 二次函数 （1大易错点分析+20个易错点+易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题04二次函数二次函数专题易错点：1.二次项系数不等于0的忽略：在二次函数中，二次项系数不能为0，否则就不再是二次函数。这是一个基本但重要的性质，有时可能会被忽略。2.忽略隐含条件：在解决二次函数问题时，可能会忽略一些隐含的条件，例如定义域、值域等。这些条件对于理解和解决问题至关重要。3.忽略数形结合思想方法的应用：二次函数的问题经常需要通过数形结合的方式来理解和解决。有时，我们可能会忽略这种思想方法，导致解题困难。4.求顶点坐标时混淆符号：在求二次函数的顶点坐标时，可能会因为混淆符号而导致错误。顶点坐标的公式是，其中a、b、c分别是二次项、一次项和常数项的系数。5.忽视根的判别式的作用：二次方程有实数根的条件是判别式大于等于0。这个条件在解决二次函数问题时经常被忽略，导致错误。6.最值问题的误解：对于二次函数的最值问题，学生可能会误解。特别是在开口向下的二次函数中，学生可能会错误地认为最大值在顶点处取得，而实际上最大值在定义域的端点处取得。易错点1：二次函数的图像与性质例：已知二次函数，则（

）A．函数图象的对称轴为直线 B．函数的最大值为2C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴的交点坐标为变式1：二次函数（，是常数，的图象过点．现有以下结论：①；②若，则随的增大而增大；③若该抛物线过点，在抛物线上，则在时，；④若该抛物线与直线没有交点，则；其中，正确的结论是．变式2：设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．(1)函数在区间上的最小值是(2)求函数在区间上的最小值．(3)求函数在区间（t为任意实数）上的最小值的解析式．易错点2：二次函数的图像与系数关系例：如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中：①；②；③；④；⑤若点在此抛物线上，且，则．所有正确结论的序号为（

）A．①② B．②④ C．②③ D．④⑤变式1：已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是．变式2：在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．(1)当时，求抛物线的对称轴；(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．易错点3：二次函数的对称例：在二次函数中，与的部分对应值如表：0123则的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定变式1：已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是（填或），若此时，则的取值范围是．变式2：已知抛物线（是常数）与轴交于两点，在的左侧．

(1)若抛物线的对称轴为直线（如图1），求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，是抛物线上的两点，点是轴上的一动点，连接，当的周长最小时，求点的坐标；(3)已知代数式，记抛物线位于轴下方的图象为，抛物线位于轴上方的图象为，将沿轴翻折得图象与组合成的新图象记为，当直线与图象有两个交点时，结合图象求的取值范围．易错点4：二次函数与一元二次方程例：下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：…013……6…下列各选项中，正确的是（

）A．这个函数的图象开口向下B．当的值随值的增大而增大C．这个函数的最小值等于D．一元二次方程有一个实数根满足变式1：若二次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为．变式2：我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解．下面是通过方程思想解决二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组得，整理得：，∵，∴方程是关于x的一元二次方程，则，当时，方程有两个不相等的实数根，∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点．任务：(1)请参照文中时的分析过程，直接写出当和时的二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况；(2)若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求c的取值范围；(3)当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式的解集．易错点5：二次函数与不等式例：如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1：抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③不等式的解集为；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的是．（填写序号）变式2：如图，函数的图像经过点，和顶点C．

(1)______；(2)在图中画出这个函数的图像：（不必列表）(3)若点在该函数图像上；①当时，则x的取值范围为______；②当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围是______．易错点6：二次函数与实际问题例：以初速度（单位：）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度竖直上抛．若两球能在空中相遇，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式1：如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降时，水面宽增加．变式2：小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；(2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值．易错点7：二次函数与三角形例：如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c>3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝．其中正确的个数（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线对称轴上一点，连接、．当是直角三角形时，点坐标为．变式2：如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标．(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．易错点8：二次函数与四边形例：已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（

）①线段AC的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个．A．4 B．3 C．2 D．1变式1：如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为．

变式2：如图，已知抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于两点，且，与y轴交于点C，点D为第四象限内抛物线上的动点，轴交所在直线于点E．(1)求抛物线的函数表达式和点C'的坐标；(2)若点F为y轴上一点，是否存在点D，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标：若不存在，请说明理由．易错点9：二次函数的铅锤高例：一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式：(表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（

）A． B． C． D．变式1：如图，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．

（）的值为．（）长度的最大值为．变式2：如图，已知拋物线的顶点坐标是，且与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，作于点．设点的横坐标为．(1)求抛物线的表达式．(2)当为多少时，最大？最大值为多少？(3)请直接写出的最大值．易错点10：二次函数与圆例：已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（）

A． B． C． D．5变式1：如图，二次函数与x轴相交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴相交于C点，以点为圆心，1为半径作圆，若P为上一动点，则面积的最小值为．变式2：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求点的坐标，如果不存在，说明理由；(3)若是抛物线第二象限上一动点，过点作轴于点，过点、、的圆与交于点，求的面积．易错点11：二次函数与相似例：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（）A．， B．，C．，， D．，变式1：如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B．（1）写出点B的坐标；（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的PCD与OCD相似，则点P的坐标为．变式2：如图，抛物线经过三点．(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为，求点的坐标；(3)如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．易错点12：二次函数与三角函数例：如图，抛物线与x轴交于两点，的顶点C在抛物线对称轴上，P为上一点，且，则的值为（）A． B． C． D．变式1：如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，当时，则；当的值最大时，n的值为．

变式2：在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点、为该抛物线上两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作垂直于直线，交直线于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)①当时，求的值；②当时，若，求的值；(3)设直线交轴于点，直线交轴于点，若与面积比为或，请直接写出的值．易错点13：二次函数的平移例：将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（

）A． B． C． D．变式1：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），点是抛物线的顶点，点在抛物线上，且点的横坐标为4，将抛物线在点之间的部分（包含点）记为图像，若图象向下平移个单位后与直线只有一个公共点，则的取值范围是．变式2：如图1，抛物线：与轴交于两点，且，将抛物线向左平移个单位得到抛物线，是抛物线与轴的交点．(1)求的值；(2)过点作射线轴，交抛物线于点D，E两点，点D在点E的左侧．若DE＝2CD，直接写出a的值；(3)如图2，若是抛物线的顶点，直线与抛物线交于两点，直线分别交直线于点．若，试探究与的数量关系．易错点14：二次函数的翻折例：抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为(

)A． B． C． D．变式1：知识拓展：将函数y＝x2+2x﹣3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的即是新函数y＝|x2+2x﹣3|的图象．请解决以下问题：（1）写出翻折部分的函数表达式；（2）若该新函数图象与直线y＝﹣x+b有两个交点，则b的取值范围是．变式2：如图，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧）坐标分别为，，交轴于点．(1)求出抛物线解析式；(2)如图，过轴上点作的垂线，交线段于点，交抛物线于点，当时，请求出点的坐标；(3)如图，点的坐标是，点为轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点刚好落在轴上，请直接写出点的坐标．易错点15：二次函数的旋转例：如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（

）

A． B． C． D．变式1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动．过点P作，垂足为Q，再将绕点P按逆时针方向旋转．设点P的运动时间为t秒．（1）若旋转后的点B落在该抛物线上，则t的值为．（2）若旋转后的与该抛物线有两个公共点，则t的取值范围是．变式2：如图，抛物线与x轴分别交于、，与y轴交于顶点为C．(1)求该抛物线的解析式，及顶点C的坐标．(2)如图（1）抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P，若不存在，请说明理由.(3)如图（2），将该抛物线绕点B顺时针旋转，交y轴于点F、G，顶点C旋转至点E，在旋转后抛物线上之间，是否存在一点M，使得四边形面积最大？若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由．易错点16：二次函数与等角例：如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．若，则的值为（

）

A． B． C． D．变式1：如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若E为射线上一点，为抛物线上一点，E、A是位于直线同侧的不同两点，若，连接，，则点E的坐标为．变式2：如图，抛物线与x轴相交于原点和点，在第一象限内与直线交于点B，抛物线的顶点为C点．

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)点在抛物线上，连接，求的面积；(3)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．易错点17：二次函数与倍角例：如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（

）A． B． C． D．变式1：如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴正半轴交于点C．（1）抛物线的解析式为；

（2）P为抛物线上一点，连结AC，PC，若∠PCO=3∠ACO，点P的坐标为.变式2：已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接交于点D，当时，请求出点D的坐标；(3)如图2，点E的坐标为，点G为x轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点P的坐标；易错点18：二次函数的新定义例：新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．若二次函数的图像在的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．变式1：我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②当时，函数有最大值4；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④函数与直线有4个公共点，则m的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．变式2：如图，抛物线（，）的顶点为，与轴交于，两点，我们发现在轴下方的抛物线的形状很像一口锅，于是我们作如下新的定义：以为弦，在上方作弧，取图中、两点之间的抛物线部分，把，两点之间的抛物线部分与弧所围成的封闭图形称为“锅线”，如图，记为“锅线”，顶点称为“锅底”，点到线段的距离称为“锅深”，弧称为“锅盖”，弧的中点到线段的距离称为“锅盖高”，若为等腰直角三角形，则此“锅线”称为“标准锅线”．(1)若图中的“锅线”为“标准锅线”，“锅盖高”为，“锅深”为，求抛物线的解析式．求弧所在圆的圆心坐标；(2)在（）的情况下，如图，在“标准锅线”上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)在（）的情况下，将图的“标准锅线”绕点顺时针旋转得到新的“标准锅线”，如图，过点作直线轴交“标准锅线”于点，在线段上取一点，过点作直线交“标准锅线”于点、两点，请直接写出线段的最大值．易错点19：二次函数与定值例：如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论错误的是（

）A．AB=4cm B．当时，△BPQ的面积是定值C．当时， D．当秒时，变式1：如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则