湖南省永州市冷水镇中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省永州市冷水镇中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=1﹣（）x，则f+f=(

)A．﹣1 B．1 C．2 D．2006参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由函数的对称性可得f（x）=f（2﹣x），再由奇偶性可得f（x）=﹣f（x﹣2），由此可推得函数的周期，根据周期性可把f，f转化为已知区间上求解．解：因为f（x）图象关于x=1对称，所以f（x）=f（2﹣x），又f（x）为奇函数，所以f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），即f（x）=﹣f（x﹣2），则f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故4为函数f（x）的一个周期，从而f+f=f（0）+f（1），而f（0）=1﹣1=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[1﹣2]=1，故f（0）+f（1）=1，即f+f=1，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性及其应用，考查函数求值，解决本题的关键是利用已知条件推导函数周期．2.若函数的图像与函数的图像关于对称，则

(A)．

(B)．

(C)．

(D)．参考答案：C3.已知偶函数在[0,+∞)上单调递减，，若，则x的取值范围是（

）A. B.[1,+∞) C.[0,1] D.参考答案：C【分析】由题可得，根据函数奇偶性得到，结合单调性得到不等式关系，求解即可.【详解】由题可得，函数为偶函数，，由函数在上单调递减，∴，解得.故选C.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及单调性的应用；解抽象函数的不等式问题，一种方法可以将函数表达式直接写出，解不等式即可；一种方法是，通过研究函数的单调性直接转化为自变量的不等关系.4.设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3参考答案：C【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故选：C．5.函数的图象可能是()

参考答案：A6.已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（） A．（0，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．（0，1]参考答案：D【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】求出函数y=lgx的定义域确定出A，找出A与B的交集即可． 【解答】解：函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞）， ∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]， ∴A∩B=（0，1]． 故选：D 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 7.的展开式中x6y2项的系数是A.28

B.84

C.-28

D.-84参考答案：B8.设用二分法求方程在区间（1，2）上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（

）A.（1,1.25）

B.(1.25，1.5)

C.(1.5,1.75)

D.(1.75,2)参考答案：B9.已知直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是

（

）.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D10.已知函数有唯一零点，则a=A． B． C． D．1

参考答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．参考答案：﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得?=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．12.（01全国卷文）()10的二项展开式中x3的系数为

参考答案：答案：15

13.执行如图所示的流程图，则输出的S＝________.参考答案：750014.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_________.参考答案：15.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，…，则当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．参考答案：3,6（3n﹣1）.【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴当a∈（1，3）时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．16.已知a，b∈R，a2﹣2ab+5b2=4，则ab的最小值为

．参考答案：考点：基本不等式．专题：三角函数的图像与性质．分析：a2﹣2ab+5b2=4，配方为（a﹣b）2+（2b）2=4，令a﹣b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．可得ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=+sin（2θ﹣α），即可得出．解答： 解：a2﹣2ab+5b2=4，配方为（a﹣b）2+（2b）2=4，令a﹣b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．∴b=sinθ，a=sinθ+2cosθ，∴ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=sin2θ+sin2θ==+sin（2θ﹣α），tanα=．∴当sin（2θ﹣α）=﹣1，ab取得最小值：．故答案为：．点评：本题考查了配方法、三角函数代换法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是

cm．参考答案：4【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（）（1）当时，求曲线在原点O处的切线方程；（2）若对恒成立，求k的取值范围.参考答案：(1)；(2).试题分析：（1）由题意，求出的导数，再求出，即可求出曲线在原点处的切线方程；（2）根据的导数及定义域，对进行分类讨论，求出的单调性及最值，即可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，故曲线在原点处的切线方程为.(2)当时，若，则在（0，1）上递增，从而若令，当时，当时，，，则不合题意∴综上所述，的取值范围为点晴：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率；（2）由点斜式求得切线方程.

19.已知函数，记的最小值为k.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）是否存在正数a，b，同时满足：？并说明理由.参考答案：（Ⅰ）因为即，

解得，所以不等式的解集为.

（Ⅱ）由易知，即。

由柯西不等式知，即由，有，即不可能有，

所以不存在正数，同时满足：.

20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

为定值．

参考答案：解：（I）设椭圆C的方程为，因为抛物线的焦点坐标是

所以由题意知b=1．又有

∴椭圆C的方程为

…………4分（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知右焦点的坐标为（2，0）．

……6分将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得

………9分

…………12分方法二：设A、B、M点的坐标分别为

又易知F点的坐标为（2，0）．显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

………………8分又……12分21.已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x1234利润y（单位：百万元）4466相关公式：==，=﹣x．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数，的值，代入回归方程即可．【解答】解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．…（2）第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元），…第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元）