湖南省长沙市中建五局中学高三数学理测试题含解析

湖南省长沙市中建五局中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则复数的实部和虚部分别为A.7，－3i B.－7，3 C.－7，3i D.7，－3参考答案：D【分析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.【详解】由题得，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)注意复数的实部是a,虚部是“i”的系数b，不包含“i”,不能写成bi.2.不等式组表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为A．B．C．

D．参考答案：D3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于,两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为,的面积为,则的值为(

)

(A)

(B)

(C)

(D) 参考答案：C4.设集合A=，Z为整数集，则A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.下面是关于复数的四个命题：，，

的共轭复数为，的虚部为.其中的真命题为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C6.

定义一种运算：，已知函数，那么函数的大致图象是（

）参考答案：B7.下列对应关系：①：的平方根②：的倒数③：④：中的数平方其中是到的映射的是（

）A．①③

B．②④

C．③④

D．②③参考答案：D略8.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有（

）种A.15 B.18 C.19 D.21参考答案：B略9.定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故选：D10.《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（

）正视图侧视图A.8π B. C.12π D.24π参考答案：D如图所示，，，由该“阳马”的体积，，设该“阳马”的外接球的半径为，则该“阳马”的外接球直径为，所以，该阳马的外接球的表面积为.试题立意：本小题主要考查空间几何体与球的组合体，球与三棱锥的切接问题，三棱锥的体积公式；考查空间想象能力及分析问题解决问题的能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，为单位向量，其中，，且在上的投影为，则与的夹角为

．参考答案：．设与夹角为，则，解得，所以．故填．【解题探究】本题考查向量的基本运算及单位向量、向量的投影概念的理解．解题关键是对向量投影的理解：若已知向量，，则在上的投影为．12.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是

。参考答案：（） [）13.已知函数．若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是．参考答案：【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是，故答案为．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14.用S（）表示自然数n的数字和，例如：S（10）=1+0=1，S（909）=9+0+9=18，若对于任何，都有，满足这个条件的最大的两位数的值是

．参考答案：9715.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线和曲线C的公共点有

个．参考答案：116.设数列是等差数列,,,则此数列前项和等于

.参考答案：17.全集求集合.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．记（i???1，2，3，4）．

（1）求证：数列不是等差数列；

（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；

（3）数列能否为等比数列？并说明理由．参考答案：（1）假设数列是等差数列，

则，即．

因为是等差数列，所以．从而．

……2分

又因为是等比数列，所以．

所以，这与矛盾，从而假设不成立．

所以数列不是等差数列．

……4分

（2）因为，，所以．

因为，所以，即，……6分

由，得，所以且．

又，所以，定义域为．……8分

（3）方法一：

设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，

则

……10分

将①+③－2×②得，

将②+④－2×③得，

……12分

因为，，由⑤得，．

由⑤⑥得，从而．

……14分

代入①得．

再代入②，得，与矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．

……16分

方法二：

假设数列是等比数列，则．

……10分

所以，即．

两边同时减1得，．

……12分

因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，所以．

又，所以，即．

……14分

这与且矛盾，所以假设不成立．

所以数列不能为等比数列．

……16分19.已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=，…∴T==π，从而可求ω=1，…∴f（x）=sin（2x+）…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，所以f（x）的单调递增区间为：．…（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是锐角，∴，∴，即．…又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．…∴．…20.（本小题满分14分）已知函数在点的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；（Ⅲ）已知，求证：.参考答案：（Ⅰ）将代入切线方程得，∴，…………２分化简得.，……………４分，解得：.∴.…………６分

（Ⅱ）由已知得在上恒成立，化简，即在上恒成立.…………７分设，，

…………８分∵

∴，即，…………９分∴在上单调递增，，∴在上恒成立.…………１０分

（Ⅲ）∵，

∴，由（Ⅱ）知有，……12分整理得，∴当时，.…………14分21.

设数列{}满足：a1=5，an+1+4an=5，(nN*)

(I)是否存在实数t，使{an+t}是等比数列?

(Ⅱ)设数列bn=|an|，求{bn}的前2013项和S2013．参考答案：解：（I）由得

令，…………2分

得则，

………4分

从而.

又,

是首项为4，公比为的等比数列,存在这样的实数，使是等比数列.

………6分（II）由（I）得.

………7分

………………8分

…9分

………………10分

……………12分略22.某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设“教师甲投篮得分0分”为事件A，利用对立