辽宁省朝阳市第十五高级中学高三数学理联考试卷含解析

辽宁省朝阳市第十五高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数。当时，函数的单调递增区间为 （

） A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.设是函数图象上的点，则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知均为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则是成立的（

）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：答案:C4.已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）=f（4﹣x），②f（x+2）=f（x），③在[0，1]上表达式为f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log3|x|的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】通过条件，得出函数的对称性和周期性，根据条件3可以得出函数f（x）的图象，做出y=log3|x|的图象，通过图象观察交点的个数即可．【解答】解：函数f（x）满足：①f（x）=f（4﹣x），∴f（x+2）=f（2﹣x），∴函数的对称轴为x=2，∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵在[0，1]上表达式为f（x）=2x﹣1，做出函数的图象和y=log3|x|的图象，通过图象得出交点的个数为4．故选A．5.若圆锥SO1，SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为4，，则这两个圆锥公共部分的体积为（

）A. B.8π C. D.参考答案：A【分析】过圆锥的轴作出截面图求解，两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，求出其底面半径和高，即可得所求体积.【详解】易得在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.是圆锥底面圆的直径，是圆锥底面圆的直径，两直径都与垂直.在中，，则可得.在中，，则，则.又，所以点重合.这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为，高为，所以所求体积为.故选A.【点睛】本题考查与球有关的切接问题，体积的计算，解题的关键是过球心作出截面图.6.已知R上的不间断函数

满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数

满足：对任意的，都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A7.当时，函数的最小值为

A．2

B．

C．4

D．参考答案：C8.已知，则（

）A．-3

B．

C．

D．3参考答案：D9.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=参考答案：D【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D10.设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为第二象限角，若，则

。参考答案：略12.已知点落在角的终边上，且，则的值为_____________；参考答案：13.函数y=ln（x﹣1）+的定义域为．参考答案：（1，2]考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据对数的性质，二次根式的性质得不等式组，解出即可．解答： 解：∵，∴1＜x≤2．故答案为：（1，2]．点评： 本题考查了对数的性质，二次根式的性质，考查函数的定义域，是一道基础题．14.若x，y满足约束条件则的最小值为_______．参考答案：3【分析】本题首先可以通过题目所给出的不等式方程组绘出图像，然后确定图像的三个顶点坐标，最后将其分别带入中即可得出最小值。【详解】如图所示，根据题目所给的不等式方程组绘出的图形可知，交点为、、，然后将其带入中可得，的最小值为3。【点睛】本题考查了线性规划的相关性质，解决本题的关键是能否根据题目所给条件画出可行域并在可行域中找出使目标函数取最值的点，考查数形结合思想，是简单题。15.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果

。参考答案：5略16.数列的前n项和，则

▲

.参考答案：-1略17.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足?=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤?≤时，求k的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其≤?≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．19.已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣2|，集合A={x|f（x）＜3}（1）求A；（2）若s，t∈A，求证|1﹣|＜|t﹣|参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，即可解不等式；（2）不妨设﹣＜s＜t＜0，则＜1，要证明|1﹣|＜|t﹣|，证明1﹣＜﹣t+，利用分析法即可证明．【解答】（1）解：由题意，|2x+1|+|x﹣2|＜3，x＜﹣，不等式化为﹣2x﹣1﹣x+2＜3，即x＞﹣，∴﹣＜x＜﹣；﹣≤x≤2，不等式化为2x+1﹣x+2＜3，即x＜0，∴﹣≤x＜0；x＞2，不等式化为2x+1+x﹣2＜3，即x＜，不成立，综上所述，不等式的解集为{x|﹣＜x＜0}；（2）证明：不妨设﹣＜s＜t＜0，则＜1，要证明|1﹣|＜|t﹣|，证明1﹣＜﹣t+，只要证明（1+t）（1﹣s）＞0，∵﹣＜s＜t＜0，∴（1+t）（1﹣s）＞0，∴|1﹣|＜|t﹣|．【点评】本题考查不等式的解法与证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.（13分）已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上,且满足，.（Ⅰ）⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.参考答案：解析：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().由得(3，)·(，)＝0,即又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y2＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；………7分当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入得则|AB|,解得

…10分

代入原方程得，由于，所以,

由，得

.

……13分解法二：由题设条件得

由（6）、（7）解得或，又，故.

…13分21.[选修4-4:坐标系与参数方程]（本题满分10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）过点P(1,0)作l的垂线交C于A，B两点，点A在x轴上方，求．参考答案：(1)将代入得，曲线的方程为由得，因为，代入上式得直线的直角坐标方程为（2）因为直线的倾斜角为，所以其垂线的倾斜角为，过点的垂线的参数方程为，即（为参数）代入曲线的方程整理得，设两点对应的参数为（由题意知）则，且，所以.

22.（本小题12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.

参考答案：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人···············································2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为， ······················4分（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为·················