湖南省衡阳市遥田中学高三数学理下学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市遥田中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题：，，，则是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，参考答案：C试题分析：本题考查全称命题的否定.已知全称命题则否定为故选C.考点：全称命题的否定.2.四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，△是边长为3的等边三角形.若，则球的表面积为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a=5，b=5，A=50° B．a=3，b=4，A=30°C．a=5，b=10，A=30° D．a=12，b=10，A=135°参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB=，根据条件求得sinB的值，根据b与a的大小判断角B的大小，从而判断△ABC的解的个数．【解答】解：对于A：a=5，b=5，A=50°，由b=a，故B=A=50°，C=80°，故△ABC有唯一解，对于B：a=3，b=4，A=30°，有sinB===，又b＞a，故B＞A，故B可以是锐角，也可以是钝角，故△ABC有两个解，对于C：a=5，b=10，A=30°，有sinB===1，B为直角，故△ABC有唯一解，对于D：a=12，b=10，A=135°，有sinB===，又b＜a，故B＜A，故B为锐角，故△ABC有唯一解．故选：B．4.已知向量满足则向量在向量方向上的投影是

A．

B．

C．

D．1参考答案：B5.已知，若，则A．1

B．2

C．3

D．3或-1参考答案：C6.若与－都是非零向量，则“·=·”是“⊥（－）”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C7.若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=

A． B．一

C． D．－参考答案：A8.设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝2x－x，则有()A．f<f<f

B．f<f<fC．f<f<f

D．f<f<f参考答案：B9.已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．故选：C．10.已知数列为等比数列，若，则的值为A. B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算：=

。

参考答案：12.对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（写出所有正确的序号）．参考答案：①③④【考点】函数恒成立问题．【分析】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．【解答】解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[﹣1，1]，满足﹣1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2﹣y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x﹣1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．故答案为①③④．13.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．参考答案：114.B.（坐标系与参数方程）已知极点在直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.则曲线C上的点到直线的最短距离为

.参考答案：15.下列命题中所有真命题的序号是________________.①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充要条件.参考答案：②③16.下面有5个命题：①函数的最小正周期是．②终边在轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．④把函数的图象向右平移得到的图象．⑤函数在上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）参考答案：①④①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选．17.已知抛物线的准线与圆心为C的圆交于A，B两点，那么_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..定义函数，为型函数，共中．（1）若是型函数，求函数的值域；（2）若是型函数，求函极值点个数；（3）若是型函数，在上有三点A、B、C横坐标分別为、、，其中，试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由．参考答案：（1）；（2）1个；（3）见解析.【分析】（1）先对函数求导求出其单调性，结合端点值求出值域；（2）先求导令导数等于0，求极值点个数只需判断导数零点的个数，化简整理后得，将导数零点转化为两个函数的交点问题，利用图像观察求出交点个数；（3）先求导再进行二阶求导，利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围，再得出原函数的单调性，因为二阶导数小于0，所以函数是三凸的单调递减函数，结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系.【详解】解：（1）因为，所以当时，，单调递增当时，，单调递减又因为，，所以函数的值域为（2）因为，所以，当时，结合函数图像易知与在上有且只有一个交点当，时，，当时，，，当时，，，且当时，当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减所以函数只有一个极大值点，极值点个数为1个（3）因为，所以所以所以在上单调递减，且，所以构造函数则记,则当时，，单调递增当时，，单调递减又因为，所以，所以所以在和上单调递减因为＜＜所以所以所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、极值，遇到一阶导数等于0不好解时，常继续进行二阶求导，在解题的过程中多结合函数简图可以更加形象直观.19.如图中，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和侧视图在右面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥面EFG.

参考答案：(1)解：俯视图如图58.图58

………4分(2)解：所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝(cm3)………8分(3)证明：如图59，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′.因为E、G分别为AA′、A′D′中点，所以AD′∥EG，

………12分从而EG∥BC′.又BC′?平面EFG，所以BC′∥面EFG.

………14分

20.

设函数表示导函数。

(I)求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)当为偶数时，数列{}满足．证明：数列{}中不存在成等差数列的三项；(Ⅲ)当为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式对一切正整数均成立，并比较与的大小.参考答案：解：(I)定义域为,当为奇数时，恒成立,2分当为偶数时，,又，，由，，4分(Ⅱ)当为偶数时，，由已知，，，，是以2为公比的等比数列.,.6分数列{}中假设存在三项，，成等差数列，不妨设，则，又，，，，，等式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，假设不成立，数列{}中不存在成等差数列的三项9分(Ⅲ)当为奇数时，要证，即证，两边取对数，即证10分设，则，，构造函数，，，，即，，即.12分,

14分

略21.已知函数.（1）若函数与在处有相同的切线，求m的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围.（3）若，恒有成立，求实数m的最大值.参考答案：解：（1）函数在处的切线方程为，由得，由得；（2），因为在定义域内部单调，所以在内有至少一个实根且曲线与不相切，因为，于是，所以知，所以，（3）当时，由得，当时；当时，，令，则问题转化为：当时，恒成立，当时，恒成立，而，当时，函数是单调函数，最小值为，为使恒成立，注意到，所以，即，同理，当时，，综上，当，即的最大值为2.

22.在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{bn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公