河南省商丘市包公庙乡联合中学高三数学理联考试卷含解析

河南省商丘市包公庙乡联合中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是（

）A．0

B．2

C.4

D．6参考答案：A2.已知函数f（x）=，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．﹣2＜a＜2 D．a＞2或a＜﹣2参考答案：A【考点】特称命题．【分析】若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可【解答】解：若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调①当a=0时，f（x）=，其图象如图所示，满足题意

②当a＜0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＜0，其图象如图所示，满足题意

③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=∴a＜2综上可得，a＜2

故选A3.已知函数，若存在实数满足其中，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由题意知，因此，，得，令，得或，由图知，令，得或，，，故答案为B考点：1、函数的图象；2、对数的运算性质4.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为()参考答案：C5.已知A、B均为集合的子集，且则

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A7.一个数学兴趣小组有女同学2名，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，其中男同学人数不少于女同学人数的概率为（）A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.下列有关命题说法正确的是(

)A.是的必要不充分条件B.命题的否定是C.的三个内角为,则是的充要条件D.函数有3个零点参考答案：C9.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.下列各式中成立的是（

）A． B．

C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3，…），若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是

．参考答案：（﹣3，+∞）考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出an+1﹣an=（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn）=2n+1+λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．解答： 解：∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3，…），数列{an}是递增数列，∴an+1﹣an=（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn）=2n+1+λ＞0恒成立∵2n+1+λ的最小值是2×1+1+λ=3+λ＞0∴λ＞﹣3即实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．12.对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是

．参考答案：

13.函数f（x）=2x+3x（﹣1≤x≤2）的最大值是

．参考答案：13考点：函数的最值及其几何意义；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：直接利用指数函数的单调性以及两个增函数的和为增函数判断出f（x）单增，从而在端点处求出函数的最大值．解答： 解：∵y=2x与y=3x都是增函数∴f（x）=2x+3x为增函数∴当x=2时，f（x）有最大值f（2）=4+9=13故答案为：13点评：本题主要考查了函数的单调性，解题的关键是f（x）在R上增，g（x）在R上增，则f（x）+g（x）在R上增，属于基础题．14.若=

。参考答案：1略15.在平面直角坐标系中，准线方程为y=4的抛物线标准的方程为．参考答案：x2=﹣16y略16.设F1，F2是曲线=1（m＞0，n＞0）的两个焦点，曲线上一点与F1，F2构成的三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2，则n=

．参考答案：4或5考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的方程分类求出椭圆的半长轴长，短半轴长及半焦距，再由三角形的周长是16，曲线上的点到F1的最小距离为2列关于m，n的方程组求得n的值．解答： 解：由曲线=1（m＞0，n＞0），当m＞n时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，此时a=m，2a=2m，b=n，c2=a2﹣b2=m2﹣n2，∴．由题意可得，，解得：m=5，n=4；当m＜n时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，此时a=n，2a=2n，b=m，c2=a2﹣b2=n2﹣m2，∴．由题意可得，，解得：m=4，n=5．∴n的值为4或5．故答案为：4或5．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，关键是注意分类讨论，是中档题．17.

若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为

。

参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0（1）若a=b，讨论F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2，证明：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可（2）问题转化为证，，只需证明成立，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由已知得，∴，当0＜x＜1时，∵1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，∴1﹣x2﹣lnx＞0，；当x＞1时，∵1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，∴1﹣x2﹣lnx＜0．故若a＞0，F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；故若a＜0，F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）不妨设x1＞x2，依题意，∴，同理得由①﹣②得，∴，∴，∴，故只需证，取∴，即只需证明成立，即只需证成立，∵，∴p（t）在区间[1，+∞）上单调递增，∴p（t）＞p（1）=0，?t＞1成立，故原命题得证．19.如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点．（I）在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明；（Ⅱ）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）设Q为AB上的一点，满足BQ=AB．由线面平行的性质证出MD∥NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在△MAB中得到QP∥AM．最后利用线面平行判定定理，证出QP∥平面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；（II）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标．利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出=（1，﹣2，﹣2）为平面CMN的一个法向量．根据线面垂直的判定定理证出DC⊥平面BNC，从而得到=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量，最后用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．解答： 解：（I）当AB上的点满足BQ=AB时，满足QP∥平面AMD，∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，且，∴，在△MAB中，可得QP∥AM．又∵QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD，即存在棱AB上找一点Q，当BQ=AB时，有QP∥平面AMD；（II）以DA、DC、DM所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系可得D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2），N（2，2，1）∴=（0，﹣2，2），=（2，0，1），=（0，2，0）设平面CMN的一个法向量为=（x，y，z）∴，取z=﹣2，得x=1，y=﹣2由此可得=（1，﹣2，﹣2）为平面CMN的一个法向量∵NB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴NB⊥CD又∵BC⊥CD，BC∩NB=B∴DC⊥平面BNC，可得=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量∵cos＜，＞===∴平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值等于．点评：本题在特殊多面体中，探索线面平行并求二面角的余弦值，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．20.（本小题13分）已知椭圆C:的离心率为，且椭圆C上的点到点的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程。（2）已知过点T（0，2）的直线与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使，求直线的斜率的取值范围.参考答案：（1），设椭圆的方程为，设为椭圆C上任意一点，··························2分由于，当时，此时取得最大值，当时，此时取得最大值，不符合题意。···················5分故所求椭圆方程为··········································6分（2）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，·························7分设，AB中点直线：代入得，，····························8分·····································10分解得：，即········12分所以，所求直线的斜率的取值范围是·············13分21.

已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.参考答案：解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为,……3分由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切线互相垂直时,有.当时,对函数求导,得.因为,所以,……5分所以.因此……7分当且仅当==1,即时等号成立.所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1。……8分

当或时,,故.当时,函数的图象在点处的切线方程为,即……9分当时,函数的图象在点处的切线方程为,即.……10分两切线重合的充要条件是由①及知,.由①②得,.……12分设,则.所以是减函数.……13分则,所以.又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是

……14分略22.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求