河南省洛阳市水资源勘察设计院高三数学文模拟试卷含解析

河南省洛阳市水资源勘察设计院高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．2.复数的虚部为 (

)A.2

B.

C.

D.参考答案：B3.已知函数f（x）=，数列{an}满足a1=1，an+1=f（），n∈N*．数列{an}的通项公式；(

)A．an=n+ B．an=n﹣ C．an=n+ D．an=n+参考答案：A【考点】数列与函数的综合．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】由函数f（x）的解析式，化简整理可得an+1=an+，由等差数列的通项公式，计算即可得到所求．【解答】解：由函数f（x）=，可得an+1=，即为an+1=an+，则数列{an}为首项为1，公差为的等差数列，即有an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=．故选A．【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．4.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（

）A．(0,2)

B．(0,1)

C．(0,3)

D．(1,3)参考答案：B作图，则满足条件实数的取值范围是，选B

5.将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为 (

)

参考答案：B略6.已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准线上的射影为S，设，是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子

①

②

③

④

中一定正确的有

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：【知识点】抛物线

H7C

解析：由于△PQS是直角三角形，则，故①②③都对，

当PQ垂直对称轴时，故选C【思路点拨】根据抛物线的概念与性质，可求出三角形的性质，再判定结果.7.已知点A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求值．【解答】解：设P在双曲线线的左支上，且PA=PB=2a，∠PAB=120°，则P的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，∴该双曲线的渐近线方程为x±y=0．故选：C．8.如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若向扇形AOB内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（）A．450 B．400 C．200 D．100参考答案：C【考点】模拟方法估计概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比，可得概率，即可得出结论．．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π?r2，连接OC，延长交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，则S扇形AOB==；∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是．∴概率P=，∵向扇形AOB内随机投掷300个点，∴落入圆内的点的个数估计值为300×=200．故选C．9.对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）参考答案：③④考点： 函数奇偶性的判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．解答： 解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数①使得x取定义域内的每一个值，不存在f（x）=﹣f（2a﹣x）所以f（x）不是准奇函数②当a=0时，f（x）=﹣f（2a﹣x），而题中的要求是a≠0，所以f（x）不是准奇函数③当a=时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（π﹣x），则称f（x）为准奇函数．④当a=π时使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2π﹣x），则称f（x）为准奇函数故选：③④点评： 本题考查的知识点：新定义的理解和应用．10.已知，，，则它们的大小关系是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C因为，，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调增区间是_________。

参考答案：12.设x，y满足

，令z＝x＋y，则z的取值范围为

.参考答案：13.如果随机变量的概率分布列由下表给出：则=

参考答案：略14.=

。参考答案：．15.某次测量发现一组数据（xi，yi）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是[0，3]任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）参考答案：【考点】回归分析．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．【解答】解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．16.在△ABC中，若，则∠C=___________.参考答案：【分析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C的大小.【详解】由题意结合正弦定理可得：，由于，故，则.

17.已知n=3dx，在（x+2+1）n的展开式中，x2的系数是（用数字填写答案）参考答案：15【考点】DC：二项式定理的应用；67：定积分．【分析】利用查定积分求得n的值，再利用二项展开式的通项公式求得x2的系数．【解答】解：n=3dx=3lnx=3，在（x+2+1）n=（x+2+1）3=（+1）6的展开式中，通项公式为Tr+1=?，令6﹣r=4，可得x2的系数为=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查定积分的求法，二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设x，y∈R，向量分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设椭圆，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值．参考答案：【考点】圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过，得到，说明点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为4，推出点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，然后求解即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，，且，∴∴点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为4…（2分）∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为，a=2∴b2=a2﹣c2=1…（3分）其方程为…（4分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，∴△＞0，由韦达定理可得：，．…所以…（6分）因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），所以△OAB的面积…（7分）=…（8分）设将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…（10分）由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，…（11分）又因为，故为定值．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,－5)，点M的极坐标为，若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径.（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线与圆C的位置关系.参考答案：解析：（1）直线的参数方程：（为参数），则（为参数），点的直角坐标为，圆方程，且，代入得圆极坐标方程；（2）直线的普通方程为，圆心到的距离为，∴直线与圆相离．

20.（本小题满分12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

非重度污染重度污染合计供暖季

非供暖季

合计

100

参考答案：（1）；（2）有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A……1分由，得，频数为39，……3分……….4分（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770