刘觉平电动力学课后习题答案

第一章三雉欧氏空^中的张量

目录:

习题1.1正交坐标系的转动....................................2

习题1.2物理量在空间转动变换下的分类.......................9

习题1.3物理量在空间反演变换下的进一步分类...............10

习题1.4张量代数............................................15

习题L5张量分析...........................................21

习题1.6Helmholtz定理...................................35

习题1.7正交曲线坐标系.....................................38

习题1.8正交曲线坐标系中的微分运算.......................42

习题1.1

1、设三个矢量a,b,c形成右（左）旋系，证明，当循环置换矢量a,b,c的次序，即当考察

矢量"c,a（c,a,））时，右（左）旋系仍保持为右（左）旋系。

证明：V=（axb）-c,

对于右旋系有V>0.

当循环置换矢量a,4c次序时，

V'=（bxc）-a^（cxa）-b=V）Q.（*）

所以，右旋系仍然保持为右旋系

同理可知左旋系情况也成立。

附：（*）证明。由于张量方程成立与否与坐标无关，故可以选取直角坐标系，则结

论是明显的。

2、写出矢量诸分量在下列情况下的变换矩阵：当Cartesian坐标系绕z轴转动角度。时。

解：变换矩阵元表达式为%=4・号

3、设坐标系绕z轴转a角，再绕新的y轴（即原来的y轴在第一次转动后所处的位置）转

夕角，最后绕新的z轴（即原来的z轴经第一、二次转动后所处的位置）转7角；这三

个角称为Euler角。试用三个转动矩阵相乘的办法求矢量诸分量的在坐标轴转动时的变

换矩阵。

解：我们将每次变换的坐标分别写成列向量X,X',X",X"，

则X'=&(a)X,X"=&(⑶X,,Xm=电(/)X"

:⑺肉⑼&⑷X

绕y'-轴转夕角相当于“先将坐标系的y'-轴转回至原来位置，再绕原来的y-

轴(固定轴)转£角，最后将y-轴转至y'-轴的位置”。因而

0(尸)=凡3)鸟(广)&13)

同理有&.。)=R,劭&⑺咫(0

R，(7)%(0R(a)=号。)凡⑺咫(£)号。)凡(a)

•••=&.(/?)凡⑺优⑻=R人a)R、(/3)R1(c)凡⑺凡⑻

=凡(a)Rv(夕/「⑷旦(a)60)=R=(a)R，0)R:⑺

易1:

'cosasina0、'cos/siny0、

凡(a)=-sinacosa0，&⑺=-sin/cos/0

<ooL<oob

'cos10一sin/、

Ry(g=010

^sinp0cosp)

••R(a,仇y)=&(a)R、⑻&⑺=

cosycospcosa-sin/sinasinycosPcosa+cos/sina一sin"cosa、

-cosycos户sina—sinycosa-sinycossina+cosycosasin/?sina

cos/sin(3sin/sin(3cos13,

〃上面的解答让人疑惑。就结论/?（&，△7）=6（0）&（⑶凡。）本身让人觉得没有什么

物理意义，分别绕原来的z轴，y轴，z轴转动怎么可能呢？且绕y，轴转夕角等

效于绕原来y轴转夕角，怎么说?

实际上，X'=&(«)X,X"=R、'(/?)X',X"=R<y)X"

X”=&⑺4,(⑶叫⑷X

'cos/sin0

cosasina0、y、

而&(a)=-sinaCOS<70,凡”。）=-sin/cos/0

.001；、oob

'cos/?0一sin/?、

4,(/?)=010

、sin/70cosP,

就直接可以得到：

R(a,人力=&.⑺勺⑻R人a)

(cos/cospcos-sin/sinfzcosycos尸sina+sin/cosa-cos/sin价

=-sin/cos(3cosa-cosysina-sin/cos夕sina+cos/cosasin/sin/3

、sinpcosasinpsinacos/?,

这个结果与《物理学中的数学方法》F.W.拜伦R.W.福勒著（P12）结果一致

（上面运算结果由Matlab验算过）

4设名、为与%是矢量的Cartesian坐标，则

&(4±q),/=生

称为矢量a的循环坐标。设坐标系作一有限转动R（«,/?,/）＞这里%y是相应的Euler

角，试写出矢量诸循环坐标系转动时的变换矩阵。

%

解：由题意得:%=Aa(1)

、a一aJ

'1i\

0

V2

A=00

0

V2V27

11)

一正0

所以A"=

正0正

010

7

坐标变换后,(2)

(\

4

乂aaA

a

\-7

/

4

所以aQARA-'(3)

\a-)

所以由(2)、(3)得O=A/MT

1

cos2纥一…sinpe-iY

2正2

11

最后得。COSP於3

siHeS)cos2纥")

I22)

详细步骤:

D=ARA-1

11

(10

0

一忑一双cosacospcosy-sinasinysinacos0cos/+cosasiny-sin0cosy、

00-cosacos/ysin/-sinacosy-sinacos/sin/+cosacosysin/ysin/0

1cosasinpsinasinpcosp)正

000

飞)

11

10

cosacos/3^~i=sina)e~,ynacos°--j=cosa)e~，Y一双正

cosacospsinasinpcosy?0

1双正

(-j=cosacosP+负•sina)，，nacosP--j=cosa)e，Y—-in%”00

v2

2i(a+z,

cos^e--^=sinpe~，Ysin2纥…

22

—sinJ3e-iacosp玄sin加"

sin^e-^--J=sin网■纥…

2v22

cos2^-e-i(a+r)1

22

]1

DCOSB育的

1

sir&Tf-正sin统

22J

(结果经Matlab验算，正确)

因此三四两题课本给出答案均无误。

5、试证坐标系作无限小转动的变换矩阵可写成a=I+e,其中£是反对称矩阵，而I是

二阶单位张量；并指出％.的几何意义。

证：

为了清楚起见，我们先用矩阵语言证明£是反对称矩阵：

X，=(/+£)元=无"］，=%，(/+£),(1+£)X

=>x"x'=/(/+£+/+xa『(/+£+/卜(舍去高阶小量)

由于长度是转动变换不变量，/r/=xrx

于是工,(e+e^xuO,即£+£,=0,故£是反对称矩阵

(上面，A，表示A的转置)

下面用分量语言证明：处理时，要特别小心行向量和列向量，因为这在分量语言中是看不出

来的。为了以示区别，我们用函岳向量，玉表示列向量

由于是做无限小转动，所以可以写成：

Xi=Xi+GikXk⑴

I»

又由于无(长度是旋转不变量)(2)

%Xi=xz-

S

-+%+£ikXk)

=+Xi£jiXJ+£jiXj£ikXk

~x^^^ilixkxi+xiGjiXy

j(%•+%)%

所以加(£广十%乂，由于£的任意性，可得到£广+号.=0

^,=0,(/=1,2,3)

即｛「___Z7,-X即弓/=一£力，为反对称矩阵的矩阵元

匕ik~fki，1K产I)

若不加以区分，很容易得到这样一个错误的结论：

£ikXkXt+XiSjiXj+%/£//=0

=>£ijXjXi+'=0

n£jixjxi+xi£jixj=0

即盯=0,若考虑二阶项，就会得到是一个对称矩阵的错误结论

虽然哑指标可以任意的换字母，但是那里面的天,弓在两个项中是不一样的(有行向量和列

向量的区别)

由此可将(1)(2)两式写成矩阵形式，

t

r=ar,a=I+£

(，为二阶单位矩阵，£的元为之前的”，即是反对称矩阵)

引入矢量丽，使坳="庐/，其中8ijk为三阶全反对称张量,

则因为恒等式4k（^^）=-向心-%为玲=-%

得能地=一£欣则与弘丽//=%々⑶

结合（1）式右边，得出

I

r二厂+丽x厂

由此可知说为坐标系所做的无限小角转动的角位移。

同时，由4国jXk=£ikXk,及£..k=（eX3）4=（维X令）.ej

可知，（axg）•丽=的

所以Qi本身是矢量（/X令）与丽的标积，£ki=9•丽二丽/,其大小就是无穷小

角位移涧在j方向上的分量的他大小

应该说，这个题目的另一意义在于对叉积可以变成点积运算：闻xr=£〃，可惜的这只能

在三维空间中成立，关键是砌=**'%只在三维空间中成立。不过也没什么，叉

积本身只在三维空间中有通常意义。

6、试证三维空间的转动变换（1.1.4）矩阵的矩阵元满足关系式（1.1.20）与（1.1.22）

证：由表达式（1.1.4）得

f

坐标的转动变换：xi=aijxj（1）

_dx.

则"/二不"，此即（1」-20）式

将（1）式两边同时乘以4%,并对指标i求和

1

陶。正巧,（2）

由％12/=广2得X12=^ij^ikXjXk=XiXi

可得正交关系%%=3jk（3）

代入（2）式可得

七4%=\

,_的

即XJ=aijXi，从而％=菽'

此即（1.1.22）式。

习题1.2

在空间转动变换下

1若号是一个二阶张量，4是一个矢量，则弓=%与也是一个矢量。

证：

因为：

方二。汹・涡〃泊=%•也

所以

%=Tijb'j=%巴涡必四=%%/.也也=3消”瓦

=4•芯”黑仇=*也=。汹

故4为一矢量

2若%是一个矢量，证明Sq/SXj是一个二阶张量。

证：因为

da：dg；/）da,dx,.da,da,

~=au~~=an----=aiia；k--

dXjdXjdXjox.oxkoxk

da.

所以，丁为二阶张量

ox,

3若邑是一个二阶对称张量，4是一个二阶反对称张量，则品4=0。

解：Sy4=+22与4+2与4

i<ji>Ji=j

A--Ay,「.，=/时，4=。

又=S"

SgAj=ZMAZ+Zs4A=工5£厂£1sa户

i<ji>ji<ji<j

-ZSu%-XSAj=。

i<ji<j

故原题得证。

4.证明二阶张量的对角分量之和是一个标量。

解：设二阶张量的对角量之和为：6=L

经过一转动变换后：。=%•

而：Tu==3j3k=Tjj，所以：。=4/=。

上式表明。是一个标量。

5.▽2（°〃）=处2〃+2Vo.▽〃+四2。

证明：

▽（0〃）=犷〃+四0

〃）二口？（加）

习题L3

1.证明：构成右（左）旋系三个矢量。、b、。在空间反演变换后成为左（右）旋系。

证明：对于右旋系来说，

V=(ax〃)・c>0

空间反演变换后，

V，=(a'xZ/)・c'=((-a)x(-Z?))・(一c)=-(axZ?)・c<0,变为左旋系。

同理可证左旋系变为右旋系的情况。

2.若4是一个二阶张量，弓是一个二阶震张量，则7；尾是一个震标量。

证明：在空间反演变换下，

T黑=丁卜瑞=他

而z霜只有一个值,故7；尾是一个震标量。

3.证明：当坐标系旋转或偶数个坐标轴反向时，变换行列式等于1；当奇数个坐标轴反向

时，变换行列式等于-1。

证明：对坐标系旋转来说，

a，a—|ara|=|nr||a|—同-=1,/.a=±1

由坐标旋转的连续性，a的值要么保持不变，要么连续变化

由于开始时，显然，”=1

所以。始终等于1

或者这样理解：做两次转动，可以看作一个转动变换，所以。始终等于1

对坐标轴反向来说，其变换行列式形式为：

1(-1)00

01(-1)0,1(—1)表示1或一1。

001(-1)

偶数个坐标轴反向时，有偶数个-1,其值为1:当奇数个坐标轴反向时，有

奇数个-1,其值为-1。得证。

4.设£是笛卡儿坐标，求当空间坐标系作旋转与反演变换时诸体积积分

7；=J的变换规律，式中/(f)是一个标量函数

解：

空间坐标系做旋转变换时，有&=卒,

22

V=尔=aijxjajkxl.=XjXj=x

dv-dx[dxydx^=|detj|dx}dx2dx3=|det/du

其中|det1|=deta21a221（磁是转动矩阵）

_ai\%2

所以dM=dv

T

b'=J刎*/(/)=Jdva内％/意。2)=aHajmTlm

做反演变换时，有x'=-x

dv'=dx：dx：dx；=-dx^dx2dxy=-dv

龙".'=(一%)(-%)=%%

2

T；=j-Jv(-x,)(-x7)/(x)=J—d吗=—l\j

5.使用两矢量的循环分量表示它们的标积（点乘）与矢积（叉乘）；并用球谐函数表示矢

径的诸循环分量。

解：由ae=击(a_e_-ae),ae,

xx++y美(a_2_+a+e+),a:e2=*)

久。—22+),么6,=美S_2+b+e+),b:ez=%«

1__i_o

41y/2

4、

Aay,A0

V241

生，001

7

因此，A就是变换矩阵，于是我们可得基坐标公式:

（e+,e_,e0）=（ex,ey,ez）A

于是

e+xe_=-iea,e_x/=ie_,e0xe+=ie_

因此:

axb=(a+e++a_e_+4%)x{b+e++b_e_+4/)

=i(aQb+-4%)=-i(aob_-a_b0)e_+i(a_b+-a+b_)eQ

即有(axZ?%=i(aj?+-a+/?_),(ax/?)±=±j(a(优一a±%)

注意：

axb=(a_b0-a^>_)2++(aob+-a+bQ)e_+(a+b^-a_b+)e0

是不成立的，因为上式是在直角坐标系中推出的，有赖于直角坐标系的一些特殊性

•;a-b=(a+e++a_e_+q)e())•(b+e++b_e_+4/)

预先如上面，先计算出方向向量的点积即可

或者：

、、,

a-b=aAbxv+ayby+a.zb.z

-|rr

=(6Z+,<7_,<70)(A)(A"')(6Z+,<2,,6Z0)

求出A’即可得到

a-b=-a_b++a+b_+%%=Z

u=0,±

：.a.b=Z㈠&急

w=0,±

r=rsin^cos^v+rsin0sin^v+rcos^e2

=rsin0cos(p-j=(e_-e+)+—j=rsinsin(p(e_-e+)+rcos^e0

6.证明:对(1.3.16)

'为%金］

有£泳£而*=det%%葭

3km%>

对哑指标求和,此时有近=3,且有

(；

5il8.im\4“、凡与、

的"与成=3det一%det+§ikdet

d.s

\jl川73”4,

3〃%、%bjm

令det中&=),令/det中々=。合并后有

3JjRk

讥1篇〃)匹^km>

3*5.im}

=2匹-%%

%8.

得证.

对(1.3,17)

工

由(1.3.16)有，££=det即

ijktjk=8il8jj-3ij8jl

此时有%=3,故有sijksljk=36u—6n=2!西

故为庐泳=2。=3!

习题1.4

1.证明：Ax(8xC)+8x(CxA)+Cx(Ax8)=0

证明：Ax(BxC)=(AC)B-(AB)C

Bx(CxA)=(BA)C-(BC)A

Cx(AxB)=(CB)A-(CA)B

且AB^BA,AC^CA,BC=CA

所以，Ax(8xC)+8x(CxA)+Cx(Ax8)=0

2.将下述量写成矢量表达式

1)昌陷。也£

2)%,侬64簿/

解：1)

%声小3她总=©r讥-3,声〃)(讥黑一用户ms)a.a.b“£

=屹瓦瓦时-3,/必黑-黑£&©““十匹黑鬣d,)a“a也£

=3a2(b-c)-a2-c^-a2-c^+(a-b)(a-c)

=a2(^b-c^+(a-b)(a-c')

2)

%/%〃*.,/也q“4，,/=(41P(4fAe,)力(£加(%此4)%)

=((/?xe)x"axd)xc)

=(/x(exb))(cx(dxa))

关键一点:若是点乘：找脚标相同的；

若是叉乘：找%t，按顺序，生科工卜ax(bxc)

3.设I为二阶单位张量，试证：

a•仅xc)/二Q仅XC)+〃(CX4)+C(QX〃)

证明：先验证恒等式slmn8..=^£jinn+8im£jn,+3in£jlm(*)

方程两边同乘以想得

%,£lmn^ij=^ij(^n£jnm+dm%"+^in£jlm)

即3%=£lmn+£mnl+£nhn,即£lmn=£hnn

上式只是证明了当i=j时是成立的

当j时，左边为0,

对于右边：因为iwj,所以当噩区0时，必有£8=0

(此时j必与某个脚标相同)

所以右边也等于0

当i=/时，i必与m,n,1中的某一个形同，不妨设为m。而m,n,1互不相同，若

不然2Kx为0;所以右边等于£加“

(*)两边同乘以a也,£,得：

砧“4'与海=a"g•©卢加”++2后加)

”.仅xc)%=《仅xc).+2(cxd),+q.(axh).

[a.9xc)/%=[a仅xc)+b(cxa)+c(ax0

即a-(bxc)/=a(/?xc)+b(cxa)+c(axA>)证毕。

4.证明：若对任意矢量B,4月是一个标量(或腰标量)；则是A一个矢量(或轴矢量)。

若对任意轴矢量B,4月是一个标量(或腰标量)，则A是一个轴(或极)矢量。

证：先证明A是矢量。

在空间转动x；=aijXj下，由44是标量可知：

(A£)=48=44

又B是极矢量，

所以，

即AjCijR=AlBj4=a’Aj

所以，A是矢量

当空间反演变化时，8=—耳

由于4耳是标量，（4线）'=48=A4

即4=-4

所以，A是极矢量

同理可证，其它三种情形

5.证明：ax(hxc)=(a-c)b—(a-b)c

证明：

axSxc)=x(qx，)=aibjckeix(q1me“)=以也/£刖%“由

=他.-4A/鸠=(。£①-%bjC[均=(a-c)b-(a-b)-c

6.证明：a\hxc)=b-(cxci)

(axh).(cxd)=(a•c)(Z?•d)—(a-d)(b•c)

(axb)x(cxd)=[a-(bxd)]c—[a-(bxc)]d

晓(《仇一42)=2s(axb),吗=；£内

证明：1)

a•(Z?xc)=^bjCf.e,.­(ejxq)=a//q为"=。^。人£海=Z?•(cxa)

2)由第一问可得：

(axb)♦(cxd)=b♦((cxd)xa)

=b•((a•c)d—[a-d)c)=(a•c)(b•d)—(a•d)(b・c)

3)(axh)x(exd)=((axb)・d)・c—((axb)・c)・d

=[a-(hxd)]c—[a•Sxc)]J

4)2co-(axb)=2a)lambn£limi=2-^£ljkTjkambn£lmn

=£（。也一%々）=，（她一。屹）

7.证明：d^ln=0

4万Jt

一1

n.n=—-[dQ”i=—^a

47rJi)3"

〃，%%=±JdQ〃，〃，%=0

〃,〃"/=♦产凶=6（即/++8u8jk）

证明：1）冗为一阶不变张量，即不变矢量；.凡为零矢量，即4=0

2）々%是不变二阶张量，ninjoc3y

•……令丽=招，取i=j,*JdQ〃,e

..........A.8..=1•.九=-.......原式得证

"...3

3）

4〃产*为三阶不变张量〃凸出-4号*,其中A为一常数

但是，〃,.%〃*=〃,-%%（因为n矩阵内容不变，所以可以交换）

而%*是两两反对称的，所以A只能为零

lJK

4）

〃凸〃则为四阶不变张量〃/八"8（丹d+2年+可必）

.....令%%&〃i=〃丹瓦+为%+,

MXi=j,k=l

...........4(5"源+8ik8ik+3ik5ik)=A(3x3+3+3)=152=l..........

.•./L=\..…原式得证

不错的证明！！!

当然，也可以实际计算：d£l=sinOd0d(p.〃=(sin，cos0,sin，sin0,cos9),

写出关于n的各阶张量，逐个检验分量。工作量很大，也比较烦。

8、

证明：以下假定L42式已证

利用。是常矢量，可以提出平均符号外

1).a-n=O

a*n=a"j=q4=0

2).(a,7?)2=|a『/3

22

(a•n)=(q〃j)2==a：=aiai/3=|tz|/3

3).a-nh-n=a-h/3

a-nb-n=<2仲“-ajbjn/z?/=/3=a-b/3

4).a•tm=a13

a•=aininjej=q4％/3=弓6/3=〃/3

5).(axH)2=21a『/3

(ax〃>==8lmsijk£ilmajall3=.与/3

=2!3"CijCiJ3=%尸//3=21a『/3

6).(axn)-(bxn)=2a-b/3

(ax〃)・(〃x〃)=%吗％%/%=%闻/也况，3=%卢泯。也/3

=2l3Jlaih//3=2a-b/3

7).a•nb•nc・nd•n=(a，be•d+a•cb•d+a•db・c)I\5

a・nb・nc・nd・nn=a"1dm产儿=叫M(学"4-8u8jm+%%)/15

=(aihicldl++aidihjcj)/l5=(ahc-d+a•cb♦d+a♦db♦c)/15

9、证明：(wxv)x/=vw-wv

证明：

(wxv)xZ=£ijkujvkelslim{em/)=一马百加"产凶J=-®3km-勾%)〃产户战

二〃产火线与一〃/%=vu-uv

10、证明：(〃x/)■x/)=〃x(ux/)=u"-〃W

证明：

先证：W证明如下：

&X/)静X/)=〃%，々产.分1=-%百„线%=-@7%-Sjm8kl)〃*，分

=UjVkekej-UjVjekek=vu-uvl

再证：ux(vxl)=vu-uvl

"X(VX/)=勺场0椀〃涓6,I=@%“一%%)“*%"

=UjVjejej-UjVjejej=vu-uvl

所以有(〃x/).x/)=〃x(ux/)=vl

上面普遍处理了一个基本式：

〃x/=(a1u)眄*(a•/)=%/汽线

与一般的两向量的矢量积比较，就是k分量由标量变为矢量。所以只要处理好自位置就可以

了。

并且我们可以得到一个更强的结论：axT=Txa,T是对称的二阶张量

这其实是很显然的，因为叉乘只涉及一个指标，对左边，只涉及第一个指标，对右边只涉及

第二个指标，而由于T的对称性，行向量等于列向量，即第一个指标和第二个指标等同，因

此结论成立。

可想而知，对点乘也应成立，但是这里有一个细节，是一个行向量，是一个列向

量，但是根据上面分析，他们的元素必然是相等的。

这从矩阵语言中可以清楚看到：(Tap=aT=优7(点乘就是普通的矩阵乘法，对向量

加一个转置)

下面根据上面的讨论，给出一个形式化的证明：

(wxv)x/=/x(»xv)=(/-v)w-(/-w)v=vu-uv

(交换原因在于后面是通常给出的叉积形式)

=(/XM)(VX/)=1(MX(VX/))=/(V(W-/)—(»-V)/)=VW—Mvl

第二步交换原因是二阶张量是不可以随便与其他张量交换位置的，故将其移到两端，处理起

来时就方便很多。

习题1.5.

VT=Y(a,7),V.T=V,.(e,-T)VxT=V,.(e,xT),

利用以上三式可以不必逐项展开，以第一题为例:

1.证明：

Ax(\7xA)=gvA2—A.(\M

解：

Ax(VxA)=Ax£..kq鼠线.A)=巧"©e"

不逐项展开解法：

Ax(VxA)=Ax匕(eixA)=Ax(自xV,A)

=(A-V,.A)e,-(A.e,)V,.A

=1VA2-A-(VA)

即把原来的微分算符分离为微分和方向向量两部分。

2.证明：

1)CV(AB)=A(CV)5+B(CV)A

解：

C.▽(A.3)=C.V(4纥)=C•c缶&e,.

dx1

_C洱,r阻_SBdAk

-G-T—Dk+C,三一Ak-A£――+—

oxioxjdXjdXj

=A-(CV)B+B-(CV)A

2)(C-V)(Ax^)=Ax(C-V)B-Bx(C-V)A

解：

CV)(AxB)=(C-V^AjB^=C品jk豪声)

a3a3

一GBRjkA,+CjAjEgk8卜=AjgijkG-^—Bk-Bk£ilijCjAj

=Ax(C.V)B-8x(CV)A

3)V-(AB)=(A-V)B+BV-A

点乘是方向之间的作用，所以点乘始终要在A与▽之间

微分分别作用到A与B上

4)(AxB).(VxC)=Z?(A-V)C-A-(B-V)C

a

(AxB)•(▽xC)=%⑼Bke」e,£lmn三(e.•C)

叫〃

解:=旦％5G=g2-A也±Cj

GXm°KjGXk

=B(AV)C-A(BV)C

5)(AxV)xB=(4V)6+Ax(yx6)-WB

解:运用演义法

(A-V)8+AX(VX8)—AV•8=(4—)B.ey.+Ax(e^e,.)-(—Bk)Aiei

dXjdXjdxi

,.ddBkdBk5

=(A-—)Bjjej-+c-A,--------------(—Bk)Ajj.

%dx：」人dXj-dXjdXj"

A弭,a..

=---(—BDJAe

dXjdXjjj

另一方面，

(Ax▽)x6=(%e,A—^B=skAslhl二B“e,

dxkdxk

sa

=Aj——Be—A,——Be

JJkJkJ

dxkdxk

所以，

(AxV)xB=(A-V)B+Ax(VxB)-AVB

3.证明:

1)VxfvT^UO

解：

因为%*e,-卷产=-%4春评

dxjdxkdxkdxj

所以\7x（\7T（"））=O

其实想法很简单：

理解一点V的方向就是无▽xr=O,V>=%

所以，▽x（VT（"））=O（同方向的两个向量的矢量积为0）

2）▽•（▽xT（">°））=0

解：

▽.（…“*1”副iff/（乃巧

因“金（卅刈）

所以V-（VxT（"刈）=0

同样可以认为VxT（"刈是与可垂直的，所以点乘为零

2

3)Vx(▽xT("刈)=▽(▽.7(">。))-\7Tgo)

［，，>0］\aaT(“>O)_aa

VxfVxT)5最卜8bnnei--，・T=Gijkei-Ck.8hnnCk7-Cn

编))弭［Idxm

d彳T（〃>o）

e.--------)=▽(▽.7(〃>。))_v2T(〃>o)

dxjdxi

4.▽(")=犷0+

证明:V（刎=自U（刎=自。詈+*F=取（P'啖0

▽网=%+(▽0/

证明:▽(4/)=3M⑼=噎的")=2泉处)令

=%"+M，(")&=嗯+母=阿+(▽")，

▽x(4)=四x/_/x\7°，

证明:Vx(")=*#.")=H啜+/用

=帆M"+%Mfk?

dXjdXj

=师乂止£皓于黑

证明：▽•(")=自告(")=自，("(妨号)=/(")=((")

=*”*(")=*(3)+△*(")

=丹,f+f7©

(▽g>/=.fx(Vxg)+5g)

证明：fx（Vxg）=fj眄端•/（«.g）］

££1S£

fj^ijkl„ln^kl普=fj^ijkh„n誓

'^^g)-f=ei-^-(gjej)-fkek

CzA/；

cbgi八dg：

f-^f.e.-e-Skek

所以/x(Vxg)=(Vg)"—/.(Vg)

即(、)•/=fx(Vxg)+/.(Vg)

YfM]=(

▽碍exp

证明：w[M=e£/w=e?%=(v。)与

dxidxio(/)o(/)

o（p

证明：”同/后加）=誓=智^

管新箸（吁皿置

▽x/M]=(▽协X组

证明：▽乂/㈤,法.色力列卜.自驾处

—F3以㈣即2期

匕：“一匕:谢匕；；I.匕;

的如'dxj却

义

”

X加

=(▽0吃)自以[4.至J

丝

(V

自

阴一"八

=£,.d^)8f-ek

,巧彳积线=£收—TT

o(pdxjo(p

对比有Vx/M]=(▽⑸

5、

Prob.lProvethat▽|x|=£三x/|x|

1

5

证：IX|=(x,.x(.),

(Q.2(%)=£=-

v|X|=4—曙为3

(阴)2(x,x户I尤I

下面先证Prob。4

Prob.4ProvethatV(a")=na"'a,ibramx—x'l

证:

V(/(0))R0^^且Va=«

/\b(a)

~"a=na"''a

、)Sa

Prob.2ProvethatVa2=2a,fora^x—V|

Prob.3ProvethatV(l/a)=-a/a2,foramx—x'|

Prob.4的推论

Prob.5ProvethatV/(x)isavector,if/(x)isascalar

function.

可（刈=自空/（x）为标量也为标量

oxiCzA.^

.•.w（x）=a,0⑷为矢量

dxi

另证:

[V/⑴卜*(小)).自

=因袅/（对）

=%［可（现

Prob.6Provethat\7x=I

证：V%=e.—=e,d(e'"Xm)-5(x)

(=e,e,“m=%谒=I

dx{dxidXj

Prob.7ProvethatVi=(7-x£)/r

证：Vi=V(%/r)=Vx—+xvf--1/r——\-xx=\/r——xx-(l-x£)/r

Prob.8ProvethatV-x=3

、-a(e.-x)dx.

证：V-x=---------=--="=3

dxidX]

先证Prob。10因为Prob。9(V.x=2/?-)是Prob。10的特殊情况

Prob.10Provethat▽•(/'£)=(〃+2)/,

证：▽•(r"9=vG"Tx)=Vd・x+r"(V・x)=(〃—l+3)r"T

特殊的，n=0时，V.x=2/r

Prob.10ProvethatVxx=o

证：Vxx=沁k/值-x)=自，察=耳入Qkj=0卢湫=°；

x

Prob.11ProvethatVx—=0

r

证：Vx|^-|=^-Vxx+V^r-xx=0+(-3)r4rxx=0

[尸Jrr

Prob.12ProvethatVx(r,,x)=0

证：Vx^rnx)=rrt(Vxi)+Vrnxx=0+nrn~[xxx=0;

Prob.15Provethat

V2-=—4芯3(x)

r

证明：假设

^2G=-4^\X)

那么只要证明G=」即可

r

采用球坐标，由于坐标原点在(0,0,0),点源产生的场在无界空间

中应只与r有关，于是

V2G=-V—