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文档简介
5.1.2弧度制
【学习目标】1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“1弧度的角
的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数.
知识梳理梳理教材夯实基础
--------------\--------------
知识点一度量角的两种单位制
1.角度制:
(1)定义:用度作为单位来度量角的单位制.
(2)1度的角:周角的击.
2.弧度制:
⑴定义:以弧度作为单位来度量角的单位制.
(2)1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
知识点二弧度数的计算
思考比值(与所取的圆的半径大小是否有关?
答案一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点三角度与弧度的互化
角度化弧度弧度化角度
360°—2TIrad2兀rad=3602
180°=7irad7irad=180°
711rad=(^|o^57.30°
1°—IQCrad^0.01745rad
loU
度数X];0—弧度数弧度数义(詈)。=度数
知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R,弧长为/,a(0<a<2兀)为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=aR.
(2)扇形面积公式:S^^lR—^aR2.
思考扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似?对应的图形是否也类似?
答案扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上,扇形可看作是一曲边三角形,弧
是底,半径是底上的高.
预习小测自我检验
1.18°=rad.
较口案木—]0
2诃=---------
答案54°
3.若a=£,则a是第象限角.
答案一
4.圆心角为或弧度,半径为6的扇形的面积为.
答案6兀
1JT
解析扇形的面积为962x1=6兀
题型探究探究重点素养提升
----------------------------------------------------------V------------
一、弧度制的概念
例1下列说法正确的是()
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
考点弧度制
题点弧度制定义
答案A
解析对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;
对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,不在同
圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是不等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也
可以不是正角,故D错误.
反思感悟对弧度制定义的三点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小,都是一个与半径的大小无关的定值.
(2)在弧度制下,“弧度”二字或“rad”可以省略不写,如2rad可简写为2.
(3)用弧度与度去度量同一个角时,除了零角以外,所得到的数量是不同的.
跟踪训练1下列各说法中,错误的是()
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C.根据弧度的定义,180。一定等于兀弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关
答案D
解析根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无
关,而是与弧长与半径的比值有关,所以D是错误的,其他A,B,C正确.
二、角度制与弧度制的互化
例2把下列角度化成弧度或弧度化成角度:
2兀
(1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)-y.
解⑴72。=72乂^^=知;
71
(2)—300。=—300X研
loU
反思感悟角度与弧度互化技巧
JT
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式兀rad=180。是关键,由它可以得到:度教又两=
1OU
弧度数,弧度数=度数.
717Tt
跟踪训练2已知1=15。,4=元,了=1,9=105。,9=五,试比较a,乃仇夕的大小.
角翠"w<e=cp.
三、与扇形的弧长、面积有关的计算
例3已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数.
解设扇形圆心角的弧度数为。(0<。<2兀),弧长为/cm,半径为Rem,
7+2R=10,①
依题意有11„
51R=4.②
①代入②得R2—5R+4=0,解之得RI=1,&=4.
当R=1时,1=8,此时,。=8rad>2兀rad舍去.
21
当H=4时,1=2,此时,9=w=](rad).
综上可知,扇形圆心角的弧度数为3rad.
延伸探究
1.已知一扇形的圆心角是72。,半径为20,求扇形的面积.
解设扇形弧长为/,因为圆心角72。=72乂忐=胃rad,
所以扇形弧长/=|a|-r=^X20=8兀,
于是,扇形的面积S=]/"=5X871X20=807:.
2.已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大?最大值是多少?
解设扇形圆心角的弧度数为伏0<,<2兀),弧长为/,半径为r,面积为S,
则/+2厂=4,所以/=4—
所以S=^l-r=1X(4—2r)Xr=—r2+2r=—(r—1)2+1,
所以当厂=1时,S最大,且Smax=l,
„I4-2X1
因m此,0=:=---[---=2(rad).
反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式:弧度制下扇形的面积公式是S=3/R=3aR2(其中/是扇形的弧长,R是扇形的半径,
a是扇形圆心角的弧度数,0<a<2兀).
(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中
已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练3已知扇形的半径为10cm,圆心角为60。,求扇形的弧长和面积.
1T
解已知扇形的圆心角1=60。=1,半径厂=10cm,
则弧长/=a•厂=界10=当%m),
于是面积S=^r=T><3^X10=当匹(cn?).
随堂演练基础巩固学以致用
1.下列说法中,错误的是()
A.半圆所对的圆心角是兀rad
B.周角的大小等于2兀
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案D
解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误.
2.若a=—2rad,则a的终边在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案C
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为()
1414
A.-ynB.一W兀
77
CT8兀D--同兀
答案B
解析显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了17周,转过的弧度为一17*2兀
14
=一不兀
4.在半径为10的圆中,葭的圆心角所对弧长为()
40兀20兀200兀400兀
3D.3,31^.3
答案A
47r40JT
解析由于r=10,a=W,所以弧长/=八1=亍.
5.周长为9,圆心角为1rad的扇形面积为.
宏安—9
口水2
{2r+l=9,什=3,
解析由题意可知,所以,。
[l=r,〔/=3,
19
所以S=/=].
■课堂小结
1.知识清单:
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳:消元法解方程组.
3.常见误区:弧度与角度混用.
课时对点练注重双基强化落实
----------------------------------2------------
g基础巩固
1.-120。化为弧度为()
,5c兀〃2r3
A.—B.-2C.—D.一下
答案c
TT
解析由于1°=由ed,
所以一120。=—120X^=一铝,故选C.
1OU3
2.若圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,贝1()
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案B
解析'.'l=\a\R,/.|a|=^.
当R,/均变为原来的2倍时,⑸不变.
而S=£|a|R2中,不变,变为原来的4倍.
3.用弧度制表示终边与150。角相同的角的集合为()
A"jB=—^+2kn,kez]
B”[=4+k360。,kQZj
C.\/3夕=华+2E,\
D./夕=d+2析,k^Z|
答案D
解析150。=150乂焉=",故终边与角150。相同的角的集合为旧片得+2E,kGZ1.故
选D.
4.圆的半径为广,该圆上长为右的弧所对的圆心角是()
2323
AqradB.]radC.g兀D.]兀
答案B
3
、I2r3
解析由弧度数公式。=;,得。=:=],
因此圆弧所对的圆心角是方rad.
5.集合卜左兀+畀餐E+多1中角所表示的范围(阴影部分)是()
答案C
解析左为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界),左为奇数时
集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).故选C.
6^rad=度,rad=—480°.
答案15-y
解析台=喑=15。,―480。=—480义念=一等.
1Z1Z1oUJ
7.把角一690。化为2E+a(0Wa<2兀,kGZ)的形式为.
答案-47c+f
解析方法一一690。=—(690Xe)=一磊r.
237E7T
因为一%~兀=—4兀+不所以一690。=—4兀+%.
方法二一690°=一2X360°+30°,
-TT
则一690。=-4兀+4.
8.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是弧度,扇形面积是
答案148
解析@=:=¥=|,
S-2l-r=1X12X8=48.
9.将下列各角化成弧度制下的角,并指出是第几象限角.
(1)-1725°;(2)-60°+360°-M^eZ).
5IT
角翠(1)一1725°=75°—5X360°=—5X2兀+五
=—*,是第一象限角.
TT
次=一=兀戈
(2)—60°+360°loUX60+2
IT
——g+2防t(kez),是第四象限角.
10.已知半径为10的圆。中,弦的长为10.
(1)求弦所对的圆心角a的大小;
(2)求a所在的扇形的弧长/及弧所在的弓形的面积S.
解(1)由。。的半径r=10=AB,
知△AOB是等边三角形,
71
a=ZAOB=60°=].
IT
(2)由(1)可知。=Q,r=10,
・••弧长/=a-r=^X10=
.c1,1、/0兀、八八5071
・・S扇形=/=]><io=^-,
而SAAOB=^AB.专AB=3X10X54=254,
X综合运用
11.下列表示中不正确的是()
A.终边在x轴上角的集合是{a|a=M,kGZ}
B.终边在y轴上角的集合是,a=E+fat,左GZ
C.终边在坐标轴上角的集合是jaOt=y,|
D.终边在直线尸x上角的集合是,a=l+2kn,k^ZJ
答案D
解析对于A,终边在x轴上角的集合是{a|a=E,k*Z],故A正确;
对于B,终边在y轴上的角的集合是1aa=^+kn,kUj,故B正确;
对于C,终边在x轴上的角的集合为{a|a=E,k”,终边在y轴上的角的集合为
a=^+kn,k《Zj,其并集为]atx=y,k^Zj,故C正确;
对于D,终边在直线y=x上的角的集合是1a=^+kn,kQZj,故D不正确.
12.圆的一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为()
A.1B,^
7L_457r7T_457r
%或不D.薄不
答案C
解析设该弦所对的圆周角为a,
则其圆心角为2a或2K—2a,
由于弦长等
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