湖南省株洲、长沙、益阳2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年湖南省株洲市中考数学试卷

一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）-3的倒数是（）

2.（3分）后乂我=（

A.472c.VTo

3.（3分）下列各式中，与3//是同类项的是（

「23

A.2xB.3%yC.-xy

4.（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）

A.对角线垂直且相等

B.四边都互相垂直

C.四个角都相等

D.是轴对称图形，但不是中心对称图形

5.（3分）关于x的分式方程-=0的解为（）

A.-3B.-2C.2D.3

6.（3分）在平面直角坐标系中，点力（2,-3）位于哪个象限？（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）若一组数据x,3,1,6,3的中位数和平均数相等，则x的值为（）

A.2B.3C.4D.5

8.（3分）下列各选项中因式分解正确的是（）

A.x-B.a-2a+a—if（a-2）

C.-2y+4y=-2y（j+2）D.mn-2mn+n=n（z»-1）'

9.（3分）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点/、B、C为反比例函数y=（k>0）上

不同的三点，连接总、OB、0C,过点/作轴于点〃，过点8、。分别作废；（T垂

直x轴于点&F,%与私1相交于点记△40。、△80V、四边形磁7;'的面积分别为S、

星、S,贝（1（）

C.£>S>SD.SSV。

10.（3分）从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数（记作a,也）构成一个数组赫=

｛a,&｝（其中衣=1,2…S,且将｛&,6J与｛b,&｝视为同一个数组），若满足：对于任

意的M=｛a,,6,｝和跖=｛a”心（Kj,1W/WS,—都有a,+6,#a.,+。,，则S的

最大值（）

A.10B.6C.5D.4

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）若二次函数y=a*+法的图象开口向下，则a0（填“=”或“>"或“<

12.（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，

现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是.

13.（3分）如图所示，在RtZX/a1中，N4cB=90°,CM是斜边46上的中线，E、尸分别为

MB,比1的中点，若跖=1,则48=.

14.（3分）若a为有理数，且2-a的值大于1,则a的取值范围为.

15.（3分）如图所示，过正五边形/微石的顶点6作一条射线与其内角N分4的角平分线相

交于点只且N4%60°,则/力如=度.

16.（3分）如图所示，四为。。的直径，点C在。。上，且Od3过点C的弦⑶与线段

仍相交于点区满足N/比1=65°,连接/〃，则N为。=度.

17.（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善

行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及

之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100

步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人.

18.（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，在直线x=l处放置反光镜I,在y轴处

放置一个有缺口的挡板H,缺口为线段48,其中点/（0,1）,点8在点/上方，且

=1,在直线x=-1处放置一个挡板1H,从点。发出的光线经反光镜I反射后，通过缺

口45照射在挡板HI上，则落在挡板HI上的光线的长度为.

y

挡板m

挡圆I反光镜i

X

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.（6分）计算:|-V3l+jt°-2cos30".

2

20.（6分）先化简，再求值：a-a-,其中a=.

（a-1）2

21.（8分）小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，

此时在眼睛点4处测得汽车前端厂的俯角为a,且tana=,若直线力下与地面1相交于

点、8,点A到地面h的垂线段/C的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线a与地面h

平行.

（1）求a'的长度；

（2）假如障碍物上的点"正好位于线段8c的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且

线段助V为此长方形前端的边），，蛆工人，若小强的爸爸将汽车沿直线人后退0.6米，通

过汽车的前端E点恰好看见障碍物的顶部”点（点。为点A的对应点，点R为点尸的对

应点），求障碍物的高度.

22.（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最

高气温7有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：

（最高气温与需求量统计表）

最高气温7（单位：℃）需求量（单位：杯）

7<25200

25W7V30250

疹30400

（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；

（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这

种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；

（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出

的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月

份某天的最高气温T满足25WTV30（单位：。C）,试估计这一天销售这种鲜奶所获得的

利润为多少元？

9

6

3

2

071520$5「03540最盛温

（单位管0C）

23.(8分)如图所示，已知正方形颂；的顶点。为正方形加切对角线/G外的交点，连

接区DG.

(1)求证：侬△，庞；

(2)若DG1BD,正方形力腼的边长为2,线段力〃与线段OG相交于点也AM=,求正方

形龙尸。的边长.

24.(8分)如图所示，在平面直角坐标系。沙中，等腰△如6的边防与反比例函数y=(m

>0)的图象相交于点C,其中必=46,点力在x轴的正半轴上，点6的坐标为(2,4),

过点，作Mx轴于点H.

(1)已知一次函数的图象过点0,B,求该一次函数的表达式；

(2)若点尸是线段48上的一点，满足OC=&AP,过点尸作P0J_x轴于点Q,连结OP,

记△初0的面积为九带设力0=1，T=O计-S40m

①用t表示7(不需要写出t的取值范围)；

②当7取最小值时，求必的值.

25.（11分）四边形46徵是。。的圆内接四边形，线段M是。〃的直径，连结4GBD.点、

〃是线段劭上的一点，连结力从CH,RNACH=NCBD,AD=CH,胡的延长线与切的延

长线相交与点P.

（1）求证：四边形力戊方是平行四边形；

（2）若AC=8C,PB=y[^PD,AB^CD=2（遍+1）

①求证：△雁■为等腰直角三角形；

②求。/的长度.

⑴若a=1,b=-2,c=-1

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数y=pV+/tr（pWO）,满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的

“不动点”.求证：二次函数尸aV+方广c有两个不同的“不动点”.

（2）设如图所示，在平面直角坐标系公y中，二次函数产=@/+灰+。的图象与x

轴分别相交于不同的两点/（为，0）,B（X2,0）,其中为<0,彳2>0,与y轴相交于点G

连结式1，点〃在y轴的正半轴上，豆OgQD,又点6的坐标为（1,0）,过点。作垂直

于y轴的直线与直线位相交于点F,满足/加匕FA的延长线与比1的延长线相

2019年湖南省株洲市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）-3的倒数是（）

A.B.C.-3D.3

【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

【解答】解：v-3X（-）=1,

•••-3的倒数是

故选：A.

【点评】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两

个数互为倒数，属于基础题.

2.（3分）"\/"^义"\/"§=（）

A.4我B.4C.V10D.272

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案.

【解答】解：V2xV8=Vi6=4.

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

3.（3分）下列各式中，与/是同类项的是（）

A.2xB.3xyC.-xyD.-y

【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可.

【解答】解：/、2f与394不是同类项，故本选项错误；

B、3炉/与3寸/不是同类项，故本选项错误；

C、-V/与3**3是同类项，故本选项正确；

D、与33/是同类项，故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义.

4.（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）

A.对角线垂直且相等

B.四边都互相垂直

C.四个角都相等

1）.是轴对称图形，但不是中心对称图形

【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案.

【解答】解：4矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；

反矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；

a矩形的四个角都相等，正确；

。、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误.

故选：C.

【点评】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键.

5.（3分）关于x的分式方程-=0的解为（）

A.-3B.-2C.2D.3

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x-6-5x=0,

解得：X--2,

经检验x=-2是分式方程的解，

故选：B.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

6.（3分）在平面直角坐标系中，点力（2,-3）位于哪个象限？（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.

【解答】解：点/坐标为（2,-3）,则它位于第四象限，

故选：D.

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解

决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象

限（-,-）；第四象限（+,-）.

7.（3分）若一组数据x,3,1,6,3的中位数和平均数相等，则x的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况后1,l<x<3,3Wx<6,x26时，分

别列出方程，进行计算即可求出答案.

【解答】解：当xWl时，中位数与平均数相等，则得到：(户3+1+6+3)=3,

解得x=2(舍去)；

当1<XV3时，中位数与平均数相等，则得到：(户3+1+6+3)=3,

解得x=2；

当3WxV6时，中位数与平均数相等，则得到:(A+3+1+6+3)=3,

解得x=2(舍去)；

当x26时，中位数与平均数相等，则得到：(户3+1+6+3)=3,

解得x=2(舍去).

所以”的值为2.

故选：A.

【点评】本题考查平均数和中位数.求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大

(或按从大到小)的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时,

则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算

术平均数即为这组数据的中位数.同时运用分类讨论的思想解决问题.

8.(3分)下列各选项中因式分解正确的是()

A.x-1—(x-1)2B.a-2a+a—a(a-2)

C.-2y+4y=-2y(y+2)D.mn-2mn+n=n(/»-1)~

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可.

【解答】解：A,V-l=(e1)(x-1),故此选项错误；

B、a-2a+a—^(a-1),故此选项错误；

C、-2/+4y=-2y(y-2),故此选项错误；

D、nfn-2mn^n=n(/»-1)\正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

9.(3分)如图所示，在直角平面坐标系中，点4、B、C为反比例函数尸(Q0)上

不同的三点，连接的、OB、0C,过点/作轴于点〃过点8、。分别作出1,C77垂

直x轴于点E、F,0C与跖相交于点M,记△/!如、丛BOM、四边形。监尸的面积分别为S、

£、W,则()

C.£>S>SD.SSV。

【分析】根据反比例函数系数4的儿何意义得到S=W,S<W,S<S,用排除法即可

得到结论.

【解答】解：•••点4、B、C为反比例函数y=(k>0)上不同的三点，轴，BE,CF

垂直x轴于点6、F,

**•St—k>SACOF-ki

♦St^BOl:-So«i：=-S&atE»

♦•SVW,£VS,

：.A,B,C选项错误,

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数系数％的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图

形是解题的关键.

10.(3分)从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数(记作血,8)构成一个数组肱=

{,,口(其中〃=1,2…S,且将{为,从}与出，为}视为同一个数组)，若满足：对于任

意的必={a,和彬={a”bji(i丰j,1W/WS,1WJWS)都有则S的

最大值()

A.10B.6C.5D.4

【分析】找出a,+4的值，结合对于任意的机={a,,4}和防={a”b,](/#/1W/WS,

1WJWS)都有a,+8*2,+九，即可得出S的最大值.

【解答】解：，/-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

•共有5个不同的值.

又•••对于任意的历={8,4}和防={a”历}(„1W/WS,1WJWS)都有a,+6,Wa,+勿,

•••S的最大值为5.

故选：c.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找出2+4共有几个不同的值是解题的关键.

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）若二次函数尸a*+质的图象开口向下，则a<0（填“=”或“>"或“<”）.

【分析】由二次函数y=a*+"图象的开口向下，可得aVO.

【解答】解：•••二次函数y=aV+"的图象开口向下，

：.a<0.

故答案是：<.

【点评】考查了二次函数图象与系数的关系.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大

小.当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大

小，la!越大开口就越小.

12.（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，

现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是-.

【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案.

【解答】解：：布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，

摸到白球的概率是=;

故答案为：.

【点评】本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.（3分）如图所示，在RtAJbC中，N4CB=90°,◎/是斜边46上的中线，E、尸分别为

MB、8c的中点，若跖=1,则AB=4.

【分析】根据三角形中位线定理求出根据直角三角形的性质求出4?.

【解答】解：：£、尸分别为脑、重的中点，

：.CM=2EF=2,

•.•/4/=90°,CV是斜边46上的中线，

：.AJ3=2af=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平

行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

14.（3分）若a为有理数，且2-a的值大于1,则a的取值范围为且a为有理数.

【分析】根据题意列出不等式，解之可得，

【解答】解：根据题意知2-a>l,

解得a<l,

故答案为：a<l且a为有理数.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是

关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

15.（3分）如图所示，过正五边形力必然的顶点6作一条射线与其内角/创6的角平分线相

交于点尺且片60°,则4加=66度.

【分析】首先根据正五边形的性质得到/£48=108度，然后根据角平分线的定义得到N

PAB=54度，再利用三角形内角和定理得到的度数.

【解答】解：•••五边形1比以为正五边形，

度，

•.•"是/£48的角平分线，

.•./月夜=54度，

；NABP=60°,

%=180°-60°-54°=66°.

故答案为：66.

【点评】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角

和定理.

16.（3分）如图所示，力6为。。的直径，点C在。。上，且施上46,过点。的弦切与线段

如相交于点发满足/4尾=65°,连接和，则/以片20度.

【分析】由直角三角形的性质得出/。缈=25°,由等腰三角形的性质得出/㈤

=25°,求出N〃OC=130°,得出NBOANDOC-NCOE=40°,再由圆周角定理即可得

出答案.

【解答】解：连接必，如图：

'：OCLAB,

：.NC0E=9Q°,

,：AAEC=^°,

：./0CE=9Q"-65°=25°,

•：OC=OD,

：.40DC=40CE=25°,

:.NDOC=\8G-25°-25°=130°,

ZBOD=ZDOC-ACOE=W°,

故答案为：20.

【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角

和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

17.（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善

行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及

之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100

步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走250步才能追到速度慢的人.

【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t,根据二者的速度差X时间=路程，

即可求出t值，再将其代入路程=速度义时间，即可求出结论.

【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t,

根据题意得：（100-60）t=100,

解得：t—1.5,

；.100t=100X2.5=250.

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

故答案是：250.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解

题的关键.

18.（3分）如图所示，在平面直角坐标系x0中，在直线x=l处放置反光镜I,在y轴处

放置一个有缺口的挡板II,缺口为线段/氏其中点力（0,1）,点△在点4上方，且4?

=1,在直线x=-1处放置一个挡板IH,从点0发出的光线经反光镜I反射后，通过缺

口力6照射在挡板HI上，则落在挡板IH上的光线的长度为1.5.

反光镜I

x

【分析】当光线沿0、G、B、C传输时，由tan/眺=tan/CG及即：，即：，解得：a=l,

求出yr=l+2=3,同理可得：yu—1.5,即可求解.

【解答】解：当光线沿0、G、B、C传输时，

过点8作8/UG〃于点F,过点C作CE,GH千点、E,

则NOGH=NCGE=a,设GH=a,则GF=2-a,

则tanZOGH=tanZCGE,即：，

即：，解得：a=l,

则a=45°,

：.GE=CE=2,片1+2=3,

当光线反射过点/时，

同理可得：yo—l.5,

落在挡板HLh的光线的长度=必=3-1.5=1.5,

故答案为1.5.

【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本

题关键是弄懂题意，正确画图.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.（6分）计算：|-立|+n°-2cos30。.

【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数基的性质和特殊角的三角函数值分别化简得

出答案.

【解答】解：原式=6+1-2义

=丑+1-V3

=1.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

2

20.(6分)先化简，再求值：/一二其中a=.

(a-1)2

【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可

解答本题.

2

【解答】解：a-—

(a-1)2

=a(aT)_a+l

(a-l)2③

=a2-Q-l)(a+1)

a(a-l)

_a2-a2.+.1

a(a-l)

=，

当a=时，原式=7j-Y---=-4.

—-1)

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

21.(8分)小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，

此时在眼睛点/处测得汽车前端尸的俯角为a,且tana=,若直线力下与地面力相交于

点8,点A到地面h的垂线段/1C的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线a与地面h

(1)求助的长度；

(2)假如障碍物上的点"正好位于线段形的中点位置(障碍物的横截面为长方形，且

线段,府为此长方形前端的边)，物V_L4,若小强的爸爸将汽车沿直线Z后退0.6米，通

过汽车的前端A点恰好看见障碍物的顶部N点(点〃为点/的对应点，点尤为点尸的对

应点)，求障碍物的高度.

【分析】(1)由题意得到,解直角三角形即可得到结论；

⑵过D作D1QBC于"于是得到四边形/殒是矩形，根据矩形的性质得到加=5=

施=0.6,根据线段的中点的定义得到846¥=2.4米，求得EQ8M-BE=1.8,根据相

似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）由题意得，ZABC=Za,

在RtZk/8C中，AC=1.6,tanN/8C=tana=,

.•.比==4^=4.8例

~3

答：比'的长度为4.8g

（2）这D作DH1BC于H,

则四边形4%是矩形，

:.AgCH=BE=Q.6,

•.•点也是线段宽1的中点，

：.BM=CM=2.4米，

BE=L8,

■:MNLBC,

J.MN//DH,

:AEMNSAEHD,

••—J

••—f

:.蚌0.6,

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题问题，牢固掌握仰角俯角的定

义是解题的关键.

22.（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最

高气温7有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下:

（最高气温与需求量统计表）

最高气温7（单位：℃）需求量（单位：杯）

7<25200

25W7K30250

7^30400

（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；

（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这

种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；

（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出

的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月

份某天的最高气温「满足25W7V30（单位：。C）,试估计这一天销售这种鲜奶所获得的

【分析】（1）由条形图可得答案；

（2）用7<25的天数除以总天数即可得；

（3）根据利润=销售额-成本计算可得.

【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为6+2=8（天）;

（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为=；

（3）250X8-350X4+100X1=730（元），

答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元.

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固

定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的

集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

23.（8分）如图所示，已知正方形/7%的顶点。为正方形465对角线1C、阳的交点，连

接区DG.

(1)求证：△DOG^XCOE；

(2)若DG1BD,正方形4?5的边长为2,线段力〃与线段%相交于点机AM=,求正方

形必％的边长.

【分析】(1)由正方形的9与正方形必方,对角线4GBD,可得ND04=NO0C=9G°,

4GOE=90°,即可证得NG6»=/C%因iDO=OC,GO=EO,则可利用“边角边”即可证

两三角形全等

(2)过点"作，血1。。交加于点〃，由于乙必6=45°,由可得扬/长，从而求得的,

即可求得，物，再通过J暇〃的，易证得△如以△〃%,则有=，求得GO即为正方形而G

的边长.

【解答】解：

(1):正方形4BCD与正方形OEFG,对角线47、BD

：.DO^OC

'JDBLAC,

:.NDOA=NDOC=90°

■:/GOE=90°

:.NG0次ND0E=NDOE+NCOE=90°

：.AGOD=ACOE

'：GO=OE

.,.在△"万和△C0£中

"DO=OC

,ZG0D=ZC0E

GD=OE

：./\DOG^/\COE(545)

(2)如图，过点“作，物L〃0交㈤于点〃

DA=2

：.DM=

,:/MDB=45°

：.MH=DH=s\n^°・DM=,Z«=cos45°•%=血

：.HO=DO-DH=42-=

，在Rt△物川中，由勾股定理得

加公儿苗+叱］(平产+(*")2=

'：DGLBD,MHLDO

：.MH//DG

，易证△CWM△勿G

V2返

；.==&=上一，得Gg2巡

V2GO

则正方形死尸。的边长为2娓

【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质

和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题

目，有一定的难度.

24.(8分)如图所示，在平面直角坐标系〃口中，等腰△刃6的边加与反比例函数y=("

>0)的图象相交于点C,其中5=47,点4在x轴的正半轴上，点8的坐标为(2,4),

过点。作轴于点II.

(1)已知一次函数的图象过点0,B,求该一次函数的表达式；

(2)若点P是线段48上的一点，满足0C=4^P,过点P作图，x轴于点Q,连结0P,

记△0口的面积为区收，设40=3加

①用t表示7(不需要写出t的取值范围);

②当7取最小值时，求小的值.

【分析】(1)将点。、6的坐标代入一次函数表达式：y=kx,即可求解；

(2)①sin/"V===sina=,则用=a=旄如贝！］点C2V§t),T—Oft-

0P0=(a>sina)2-X(4-f)X2t=4d-4t；②当t=时，7取得最小值，而点以遮3

2Mt),即可求解.

【解答】解：(1)将点0、8的坐标代入一次函数表达式：y=取得：4=2",

解得：k=2,

故一次函数表达式为：y=2x,

贝(Itana=,sina=,

,：0E=AB,则〃Q4JU2,则点/(4,0),

设：AP^a,则OC=Ma,

在中，sin//尸g==sina=,

同理止=2t,

则PA=a=y[^>tiOC=y/l^tf

则点C(如32Mt),

T—Obi-S^mv—(0c•sina)--X(4-t)X2t=4--4t,

②；4>0,...T有最小值，当t=时，

T取得最小值，

而点c(V3f>2Mt),

故：卬=tX2.

【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次

函数等知识，其中(2)①，确定点C的坐标，是本题解题的关键.

25.(11分)四边形4版是。。的圆内接四边形，线段46是。。的直径，连结4GBD.点、

〃是线段劭上的一点，连结/从CH,豆NACH=NCBD,AD=CH,力的延长线与切的延

长线相交与点P.

(1)求证：四边形447/是平行四边形；

(2)若AC=BC,PB=y[^PD,A丹CQ2(旄+1)

①求证：△腌'为等腰直角三角形：

②求。/的长度.

P/

【分析】(1)由圆周角的定理可得NZ®M/ZZ4gN〃77,可证4〃〃如由一组对边平行

且相等的是四边形是平行四边形可证四边形/比方是平行四边形；

(2)①由平行线的性质可证NA9〃=NCW=90°,由/微?=/。6=45°,可证△质1

为等腰直角三角形；

②通过证明可得，可得，通过证明可得，可得4?=遂/

可求徵=2,由等腰直角三角形的性质可求。/的长度.

【解答】证明：(1)VZ.DBC=Z.DAC,NACH=NCBD

：.ZDAC=ZAC//

：.AD//CH,且AD=C//

四边形是平行四边形

(2)①.."E是直径

.,.ZJCS=90°=ZADB,KAC=BC

.,.ZCAB=ZABC=A5°,

：.NCDB=NCAB=45°

'：AD//CH

:.NADH=NCHD=9Q°,且/。®=45°

:.NCDB=NDCH=A5°

:.CH=DH,且4CHD=9Q°

...△腌'为等腰直角三角形；

②•••四边形/也是。。的圆内接四边形，

：.AADP=APBC,且/产=/产

:.△ADP^XCBP

豆PB=J^PD,

：.,AD^CH,

'：ZCDB=ZCAB=45°,ZC//D=ZACB=90°

二△CHD^XACB

：.AB=y/sO)

,：AB^CD=2(A/5+D

:.娓CMCD=2(V5+I)

.•.5=2,且△册?为等腰直角三角形

."=我

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三

角形的判定和性质等知识，求切的长度是本题的关键.

26.(11分)已知二次函数冶"C(a>0)

(1)若a=l,b=-2,c=-1

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数y=pf+*+r(0±0),满足方程广=8的x的值叫做该二次函数的

“不动点”.求证：二次函数/=@^+6户c有两个不同的“不动点”.

(2)设方=。3,如图所示，在平面直角坐标系0孙中，二次函数尸aV+8户c的图象与“

轴分别相交于不同的两点4(*”0),8(x2,0),其中为＜0,泾＞0,与y轴相交于点G

连结6G点〃在y轴的正半轴上，且OC=OD,又点£的坐标为(1,0),过点〃作垂直

于y轴的直线与直线◎'相交于点凡满足/"'C=N4BC.FA的延长线与6C的延长线相

【分析】(1)①把a、6、c的值代入二次函数解析式并配方得顶点式，即求得顶点坐标.

②根据定义，把尸"弋入二次函数尸八2*-1,得V-2x-l=x,根据根的判别式可

知满足此方程的x有两个不相等的值，即原二次函数有两个不同的“不动点”.

(2)由条件N加匕=/4政7与=.联想到证△杼'Cs△物的对应边的比，即有

—e二.由%Uy轴且%=必可得加〃x轴，由平行线分线段定理可证《

皿PA原牛

也为C77中点，其中比=爪2+1'"、=2方可用含c的式子表示.可用含屋-为表示，

通过韦达定理变形和6=d代入可得用a、c表示A9的式子.又由/和

=ZCEB可证/XAEFs丛CEB,对应边成比例可得式子力。储=龙・£五，把含c、x?、汨的式

3

子代入再把韦达定理得到的%+及=不及=代入化简，可得c=-2a.即能用a表

2a

示CF、AB,代回到史上=娓解方程即求得a的值,进而求&c的值，得到二

福PA樵而

次函数表达式.

【解答】解：(1)①b=-2,c=-1

：.y^x-2x-1=(x-1)J2

...该二次函数图象的顶点坐标为(1,-2)

②证明：当了=入时，x-2x-l=x

整理得：f-3x-1=0

；.△=(-3)2-4X1X(-1)=13>0

方程f-3x-1=0有两个不相等的实数根

即二次函数-2x-1有两个不同的“不动点

(2)把6=</代入二次函数得：y—ax+cx^-c

♦.,二次函数与x轴交于点/(小，0),8(x2,0)(刘<0,A2>0)

即小、生为方程aV+c：'广c=0的两个不相等实数根

a2a

•当x=0时，y—ax+cx^c—c

'.C(0,c)

•/£,(1,0)

:.CE=41+c2,AE=\-x\,BE=X2-1

•.•〃凡Ly轴，OC=OD

底〃x轴

•••跖=贬=&7,小=26

9

：ZAFC=ZABCfZAEF=ZCEB

:,XAEFsXCEB

・・・，於AE*BE=CE*EF

(1-)(A2-1)=l+c

展开得：l+c=x2-1-X\X^X\

c+2ac+2cMa=0

c(c+2a)+2(c+2a)=0

(c2+2)(c+2a)=0

Vc+2>0

.,.c+2a=0,即c=-2a

_Q3

，XI+E=-6a—=4a2,EE==-2,Cl

2a

(汨-*)2=(X1+X2)2-4%1%2=165+8

："B=xz-刀尸Ji6a4+8=2山&4+2

■:/AFC=/ABC,N-N尸

：./\PFCS/\PBA

.CF_PC_V5

244a4+25a2+1

解得：a=l,a=-1（舍去）

c=-2a=-2,b=c=-4

二次函数的表达式为y=^-4x-2

【点评】本题考查了求二次函数顶点式，一元二次方程的解法及根与系数的关系，相似

三角形的判定和性质，因式分解.第（2）题条件较多且杂时，抓住比较特殊且有联系的

条件入手，再通过方程思想不断寻找等量关系列方程，逐个字母消去，求得最终结果.

2019年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）

1.（3分）下列各数中，比-3小的数是（）

A.-5B.-1

2.（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设

改造投资规模达，确保安全供用电需求.数科学记

数法表示为（）

A.15X109B.1.5X109C.1.5X1O10D.0.15X10"

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.3a+2Z?=5aZ?B.(a3)7

C.a'-ra-aD.(a+Z?)2—a2+b'

4.（3分）下列事件中，是必然事件的是（）

A.购买一张彩票，中奖

B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.任意画一个三角形，其内角和是180°

5.（3分）如图，平行线48,必被直线所截，Zl=80°,则N2的度数是()

B1D1

A.80°B.90°C.100°D.110°

6.（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（)

c.D.

7.（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，H名参赛同学的成绩各不相同，

按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，

小明需要知道这11名同学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

8.（3分）一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是（）

A.2冗B.4冗C.12nD.24n

9.（3分）如图，以中，ZC=90°,N8=30°,分别以点4和点少为圆心，大于/切

的长为半径作弧，两弧相交于双川两点，作直线也V,交BC千点、D,连接A9,则NCL9

的度数是（）

C.45°D.60°

10.（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60〃加Je的小岛/

出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔。的南偏东45°方向上的8处，这时

轮船6与小岛｛的距离是（）

北

B.QOnmile

C.\2QnmileD.(30+30"$/^)nmile

11.（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，

不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用

一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1

尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺