2020-2021学年吴忠中学高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年吴忠中学高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.直线/：x-2y+2=0过椭圆的左焦点尸和一个顶点B,则该椭圆的离心率为（）

2.①线性回归方程对应的直线，=bx+'至少经过其样本数据点。121），。2/2），“.（%，%）中的

一个点;

②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;

③在某项测量中，测量结果f服从正态分布N（l42）9>0）,若f位于区域（0,1）内的概率为0.4,则f位

于区域（0,2）内的概率为0.8；

④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与y有关系”的把握越大.其中

真命题的序号为（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

3.如图，在正方体4BCD-AiBiGA中，棱长为a,M、N分别为和4C上的

点,&M=AN=亨，则MN与平面BBiGC的位置关系是（）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

4.设贝ij是“一2<%<2”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知集合M={x||x+2|+|%—1|S5},N={x[a<x<6},且MnN=(-1,句，则b—a=()

A.-3B.—1C.3D.7

6.等差数列舸①中，嚓：畸心》则，目「噪:卜：|趣%为其前骸项之和，贝！1（）

A..髯］M晶/蜀4：都小于零,翼陟"r*都大于零

B.甩明门",瑞都小于零，，黑"球，,都大于零

C..琉用“，”晶都小于零，墨初露片•都大于零

D.僦明『”.黑：都小于零，即风”…都大于零

7.已知在直三棱柱4BC-41B1G中，棱4B,BC,BB1两两垂直且长度相等，点P在线段41cl(包括

端点4,G)上运动，直线8P与BiC所成角为d则0的取值范围是()

A.0<0<B.^<9<^C.^<9<^D.0<0<^

ZoZ5Z3

8.在AHBC中，角4,B,C所对边的长分别为a,b,c,若。2+。2=2c2,贝iJcosC的最小值为().

A.更B.无C.-D.--

寓香念S

9.已知实数x>l,则三+x的最小值为()

X—1

A.4B.6C.7D.10

10.在等比数列｛即｝中，若。厂。7=4,且。2,%0=16,则。4。。6=()

(

A.±8B.8C.±4D.4

11.在AABC中，角A、B、C的对边为a,b,c满足c=2acos8cosC+2bcosCcos4，且△4BC的面

积为38，c=V13，则a+b=()

A.4B.5C.6D.7

12.中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程是()

A.亡+日=1B.二+式=1C.旺+式=1D.日+火=1

4242164164

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在锐角△ABC中，a,b,c分别为角4B,C所对的边，且Ka=2csin4c=夕，且△ABC的

面积为迪，则a+b=.

2

y<2

14.若变量％,y满足约束条件％-y-2W0,则z=x-2y的最大值为.

4-y-2>0

15.设/(x)是定义在R上的函数，若f(O)=j且对任意的x6R,满足/0+2)-/(；033L/Q+

O

4)-/(x+2)>9x3x,则f(8)=.

16.直线y=1与椭圆次+g=1总有公共点，则m的值是____.

5m

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.已知函数/(%)=ax2+ax—l(aGR).

(1)当。=1时，求f(%)>0的解集；

(II)对于任意％6R,不等式/(%)V0恒成立，求Q的取值范围；

(HI)求关于％的不等式/(%)<0的解集.

18.已知四棱柱48。。一48传1。［的底面ABCD是边长为2百的正方形，平面

ACCJABCD,BCi=C(\,直线DB与平面3"祖成30°角，

(1)求证：平面8GDJ_平面ABCD；'

(2)求四棱柱4BCD-&B1GD1的体积.

19.若椭圆5+《=l(a>b>0)的左右焦点分别为小F2,线段尸也被抛物线y2=2bx的焦点分成

3：1的两段，过点C(-1,0),斜率上为的直线I交椭圆于不同两点4、B,满足m=2下.

(1)求椭圆的离心率；

(2)当三角形048的面积最大时，求椭圆的方程.

20.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离原点为r处

的单位电荷受到的电场力由公式尸=k2(其中k为常数)确定.在该电场中，一个单位正电荷在

电场力的作用下，沿着r轴的方向从r=a处移动到r=b(a<b)处，求电场力对它所做的功.

21.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距卡+0海里的B处有一艘走私船,

正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2五海里/小时的速

度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了

巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以30海里/小时的速度沿

着直线追击.

B

(I)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里•

(H)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船•

22.已知数列｛a｝满足的=1,即+1=£~,(nGN*)

n1-'run

(1)证明数列｛2｝是等差数列，并求出通项an.

an

25，、.

(2)若；<a-a+a-a+a-a+-+a^-a<-,求般的值.

D122334nOn

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解析：分析：分别令直线方程中y=0和x=0,进而求得匕和c,进而根据b,c和a的关系求得

a,则椭圆的离心率可得.

解答：解：在八x-2y+2=0上，

令y=0得&(-2,0),

令x=0得即c=2,b=1.

故选。

2.答案：D

解析：解：①线性回归方程对应的直线£+£不一定经过其样本数据点

(%1，乃)，(%2，为)，…中的一个点，但一定过(元/，故①错误;

②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故②正确；

③在某项测量中，测量结果f服从正态分布N(l82)9>0),若f位于区域(0,1)内的概率为0.4,

则f位于区域(0,2)内的概率为0.8,故③正确；

④对分类变量x与y的随机变量/的观测值k来说，k越大，

判断“x与y有关系”的把握越大，故④错误.

故选：D.

根据线性相关系数和正态分布特点，以及线性回归直线的特点，即可判断正确结论.

本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，属

于基础题.

3.答案：B

解析：

本题考查线面平行的判定，在适当条件下，可以用向量法证明，只需证明该直线的一个方向向量与

该平面的一个法向量垂直即可.要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示.由于CDJ■平面

BiBCCi，所以而是平面&BCC1的法向量，因此只需证明向量而与前垂直即可，而而与瓦万和瓦片

均垂直，而瓦厄和瓦7又可以作为一组基底表示向量而，因此可以证明.

解：••・正方体棱长为a,A1M=AN=^-,

13

------>2------------------->2,

・・・M8=W/i8,CN=-CA,

313

2____9

・•.丽=丽+就+而=-A^B+就+-CA

313

2>■■,■■>*2,>

=g(4出+B]B)+BC+§(CD+DA)

2-------*1--------->

又•••丽是平面&BCG的法向量，

且丽•丽=(|瓦+：瓦瓦).而=0,

•••MNLCD，

MN〃平面为BCC1.

故选:B.

4.答案：A

解析：解：记4={%|1<%<2},B={x\—2<x<2],

•・•/£B,

・・・“1VxV2”是“一2VxV2”的充分而不必要条件，

故选：A.

记4={%|1V%V2},B={x\-2<x<2]f根据集合的关系判断充分、必要条件.

本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题.

5.答案：C

(2%+1,%>1

解析：解：|久+2|+|%—11=13,-2<%<1,

(.-2x-1,x4-2

所以|x+2|+|x—1|W5=d]w5，

或「2<%<1或”-2

^13<5^1-2%-1<5'

解得一34%42,

・・・集合M={x|-3Wx<2}.

再由N={x\a<x<6},且MnN=(-1刈，

可得a=-1,6=2,

所以b-a=3,

故选C.

解绝对值不等式求得M={x|-3WxW2},再由N={%|a<%<6},且=可得a=

—1,b—2,从而求得b—a的值.

本题主要考查绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题.

6.答案：C

解析：试题分析：等差数列的前隰项和公式有两个，一个是关于考察等差前71项和，晁与项巡&的关系：

鼠=减%,另外一个是关于晁与％，盛的关系，畸M汕娜，可知等差数列中公差大于0,且各

鬟

项先负后正，所以前项和先负，后逐渐变为正，

事=也空乱$见%=戮触：喊=筮1>/,>砥，又|睢H•••

%外靴门啾冤;:=麓辆也脸=鲍羯北所,>(©,.•.选C.

''笠"'

考点：等差数列的前制项和.

7.答案：C

解析：解：画出图形，建立空间直角坐标系，如图所示；

设棱长AB=1,

则8(0,0,0),C(0,l,0),Bi(0,0,l),

设P(—a,l-a,l)(0<a<1),

则前=(一a,l—a,l),B^C=(0,1,-1)>

COS0—II

_।-axo+(l-a)xi+ix(-l).

—'y/(-a)2+(l-a)2+lXy/2'

2Va2-a+lf

当Q=0时，COS。=0,

n1111

当a‘°时,的"二可二/盾蔻

v0<a<1,

1,

a

J(i-|)2+|>1，当且仅当a=1时"=”成立;

:.cos9<I，即0Scosd<I；

又丁0<6<p

即。的取值范围是Twe〈看

故选：c.

画出图形，建立空间直角坐标系，设棱长AB=1,P(-a,l-a,1)(0<a<l),

求出而、町的坐标表示，利用空间向量的夹角公式，求出结果.

本题考查了利用空间向量的知识求空间角的问题，解题时建立适当的坐标系是解题的关键，属于中

档题.

8.答案：C

解析“cosC—'普繇一5——

^rl/T:,COSLt-------------------------9

又a?+b2>2ab,2ab<2c2,

则cosCN」，即cosC的最小值为工.

9.答案：C

解析：解：•••x>1,则2+x=—+x-l+l>2-+1=7,

x-ix-iq、Jx-i

当且仅当X-1=2即x=4时取等号，

x-1

故选：C.

由-2-+x=&+%-1+1>2/(x-1),-二+1即可求解最小值.

x-ix-iq、)x-i

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题.

10.答案:B

解析:解：丁等比数列｛On｝中，下1•a7=4,且口2•。10=16,

•*,Q]•CLj—CL^9CL,2.•Q10=Q2，

a4=±2,a6=±4,

•JQ4、生同号，

：•Q4•=8.

故选：B.

直接利用等比数列的性质可得结论.

本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.

11.答案：D

解析：解•：由正弦定理高=焉=肃=2R,

则Q=2Rsi7i4b=2RsinB,c=2RsinC,

由c=2acosBcosC+2bcosCcosA,则2Rs出C=2x2RsinAxcosBcosC+2x2RsinBxcosCcosA,

sinC=2cosC(sinAcosB+sinBcosA),

・•・sinC=IcosCsin^A+8)

由C=7T—(/+B),

则sinC=2coscsinC,

i

由s出CH0,则2cosc=1,cosC=

△ABC的面积为S=-absinC=-abx—=3V5,

222

则ab=12,

由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC,

则彦+82=25,

由(G+b)2=Q2+2ab+坟=49,

则a+b=7,

故选O.

利用正弦定理，代入，根据，两角和的正弦公式即可求得C,根据三角形的面积公式及余弦定理，即

可求得小+62,由完全平方公式即可求得a+b的值.

本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，

属于中档题.

12.答案:D

解析：解：设椭圆方程为4/+By2=L

(4,0),(0,2)代入可得164=1,4B=1,

二椭圆的标准方程是?+?=l.

故选：D.

设椭圆方程为4M+By2=1,(4,0),(0,2)代入可得164=1,4B=1,即可求出椭圆的方程.

本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，比较基础.

13.答案：5

解析：解：,■=2csinAy•-VSsinA=2sinCsinA>•-sinC=—.

,:SA.BC=3absinC=ab=ab—6.

•••△ABC是锐角三角形，二cosC=i,

(a+b)2-2ab-c2_(a+b)2-i9_1

由余弦定理得：cosC=2ab-12-2f

解得a+b=5.

故答案为：5.

利用正弦定理将边化角求出sinC,根据面积公式求出ab,代入余弦定理得出(a+b)的值.

本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.

14.答案：0

y<2

解析：解：由约束条件件％->一2W0作出可行域如图，

%+y-2>0

由z=x—2y,得y=：-f;由图可知，当直线过可行域内点B时直线在y轴上的截距最小，z最大.

联立即解得修：「

即8(4,2).

••・目标函数z=x-2y的最大值为4一2x2=0.

故答案为：0.

由约束条件作出可行域，化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最

小时z最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z的最大

值.

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题.

15.答案：竿

o

解析：解：•••/(x+2)-/(x)<3x,

f(x+4)-/(x+2)<3X+2=9・3匕

又/。+4)-/(%+2)29*3，,

f(x+4)-/(%+2)=9x3X,=3X+2,

••./(2)-f(0)=3°,

/(4)-/(2)=32,

/(6)-/(4)=34,

/(8)-/(6)=36,

以上各式相加得，/(8)-/(0)=芸

।1-941I94T6561

•••f(8)=/(0)+-1-7=-o+—o=—o

故答案为：华.

o

先由题目中的两个不等式推导出f(x+4)-f(x+2)的值,然后再用累加法和等比数列求和公式即可

求解

本题及考察了抽象函数的相关知识，又考察了数列中的累加法和等比数列求前几项和公式，注重知识

点的交汇和灵活运用.属难题

16.答案：7nzi且mW5

y=fcx+1

{正十e_],化为+5k2)%2+10入+5-5m=0,

5m~

・,・直线y=kx+1与椭圆次+”=1总有公共点,

5m

.(m>0,且mH5

(△=lOOfc2-4(m+5A2)(5—5m)>0

由0化为m>1—5k2

解得m>1且THH5.

故答案为：血之1且血。5.

(y=kx+l22

联立2化为(m+5/c2)%2+lOfcx4-5-5m=0,由于直线y=kx+1与椭圆上+—=1总

(----1--y--=15m

'5m

m>0,且m45

有公共点，可得.解得即可.

,△=100/c2-4(m+5k2)(5-5m)>0

本题考查了直线与椭圆的交点转化为方程联立解方程组、一元二次方程有实数根与判别式的关系,

属于基础题.

17.答案：解：(I)a=l时，/(x)=x2+x-l>0,

解得x>二歧—或x〈士班.

22

/(%)>0的解集为{x|x>二子或x<二#}.

(II)v/(x)=ax2+ax—l(aGR).

对于任意x6R,不等式f(x)<0恒成立，

a=0或<°2上4n，

(.△=az+4a<0

解得一4<a<0,

••・a的取值范围是(-2,0].

(m)(i)a=0时,/(x)=-1<0,

不等式的解集是R,

(ii)a>0时，/(x)=ax2+ax—1,

△=a2+4a>0,令尸(x)-0,

解得：尢=3三，

2a

故/(x)<0的解集是：(土等亚，士等四),

(iii)a<0时，△=a2+4a,

①Q<一4时，△>0,

令"X)=0,解得：X=一。士"可

-a-va^+4a,-a+va^+4a

故/(无)<0的解集是:(-0°),+oo),

2a)I2Q

②a=-4时，△=(),f(x)<0的解集是｛x|xK-3，

③-4<a<0时，△<0,

/(x)<0的解集是R.

解析：(I)代入a的值，解不等式，求出不等式的解集即可；

(口)通过讨论a的范围，结合二次函数到现在得到关于a的不等式组，解出即可；

(HI)通过讨论a的范围，结合判别式的符号，求出不等式的解集即可.

本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

18.答案：(1)证明：设AC,BD交于点0,连结G0,

取BC中点E,4B中点F,连结GE,0E,的尸，OF,

•••四棱柱4BCD-41B1G5的底面ABCD是边长为2%的正方形,

平面4CG1ABCD,BC]=CCr,

•••CjF1BC,OE1BC,OF1AB,

又。EnnC]E=E,•1•BCJ■平面GOE,二BC1G。，

•••OFIIBC,•••OF1Cx0,

•••平面ACC；1ABCD,•1.Cx01平面ABC。，

•••Ci。u平面BC1。，.•.平面BC1。1平面4BCD.

(2)解：以。为原点，(M为x轴，0B为y轴，0cl为z轴,

建立空间直角坐标系，

•••4BCD是边长为2国的正方形，设。G=t,

则8(0,e,0),D(0,-V3,0).Ci(0,0,t),C(-V3,0,0)，

BD=(0.-2V3,0),届=(O,-V3,t).BC=(-V3,-V3,0).

设平面BCG的法向量司=(x,y,z),

则y

度二1xM取…得X…造

•.•直线DB与平面BCGB1成30。角，

sin30°=\cos<n,BD>\=|2/!_|=-

2V3-J2+J2,

解得"黑"罟(舍)

•••cr0=日

S正方形ABCD=2取X2V3=12,

x=

四棱柱4BCD-的体积V=S正方形ABCDG。=12X6>/6.

解析：(1)设AC,8。交于点0,连结G。，取BC中点E,4B中点F,连结QE,0E,C、F,OF,由已

知得BCICiO,再由平面ACC；14BCD,得的。_L平面4BCD,由此能证明平面Bq。_L平面48CD.

(2)以。为原点，。4为x轴，0B为y轴，0cl为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱柱

4BCD-A/iGDi的体积.

本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱柱的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能

力的培养.

19.答案：解：(1)由题意知，c+g=3(c—g,

・•・b=c,

・•・a2=2b2,

cVz

••一a・2・

(2)设直线l：x=ky-1,4(%21),B(x2,y2)>

•.■AC=2CB.

•••(-1-xv-yj=2(X2+l,y2)>即2y2+%=°，①

由(1)知，Cl?=24>2,.•.椭圆方程为/+2y2=2/；2,

直线代入椭圆方程消去x,得(1+2)y2-2ky+1-2b2=0,

­,•%+丫2=落，…②为丫2=-③

由①②知，y2=-^月=看三，

1,,SAAOB=如1-yzl,

:.S=3-=3--^―<—

N+2扃+k-4'

当且仅当除『=2,即k=±或时取等号,

又当|/c『=2时，yry2=-1,

•••由丫1，2=根］，得扰=|,

42y2

椭圆方程为三+牛=1.

解析：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意

合理地进行等价转化.

⑴由C+[=3(T),