湖北省十堰市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

湖北省十堰市2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.-^的相反数是（）

11

A.-2B.2C.--%

【答案】D

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】因为（一》+：=0,所以一：的相反数是.

故答案为D

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可求解.

2.如图，直线AB〃CC,/1=55°,2=32°，贝U与=（）

A.87°B.23°C.67°D.90°

【答案】A

【考点】平行线的性质，三角形的外角性质

【解析】【解答】解：：AB//CD,^1=55°,

4=/I=55°,

42+4=87°,

故答案为：A.

【分析】根据平行线的性质得出4=/1=55°,根据三角形外角的性质得出N3=N2+NC,据此

计算即可.

3.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）

人rrRB-用cBznD-cB

【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：该几何体从上向下看，其俯视图是

rrR

故答案为：A.

【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形；注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断

即可.

4.下列计算正确的是()

A.a3-a3=2a3B.(—2a)2=4a2

C.(a+b)2=a2+b2D.(a+2)(a-2)=a2—2

【答案】B

【考点】同底数基的乘法，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，积的乘方

【解析】【解答】解：A.a3-a3=a6,该项计算错误；

B.(-2a)2=4a2,该项计算正确；

C.(a4-b)2=a2+2ab+b2,该项计算错误；

D.(a+2)(a-2)=a2-4,该项计算错误；

故答案为：B.

【分析】根据同底数基的乘法、积的乘方、完全平方公式及平方差公式分别进行计算，然后判断即可.

5.某校男子足球队的年龄分布如下表

年龄131415161718

人数268321

则这些队员年龄的众数和中位数分别是()

A.8,15B.8,14C.15,14D.15,15

【答案】D

【考点】中位数，众数

【解析】【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁；

22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是(15

+15)+2=15岁.

故答案为：D.

【分析】中位数：先把数据从小到大(或从大到小)进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的

那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数，众数：

是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.

6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器

所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是()

400450—1450400_1

一±B.

XX-50X-50X

400_当-450400__

-3cUnD.—5

XX+1-X+1X

【答案】B

【考点】分式方程的实际应用

【解析】【解答】解：设现在每天生产x台，则原来可生产(x-50)台.

依题意得：推一第=1.

故答案为：B.

【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产(x-50)台，根据"生产400台机器所需时间比原计划生

产450台机器所需时间少1天”列出方程即可.

7.如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC

为15m，AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是()

A.(15V3+|)mB.5V3mC.15V3mD.(5V3+|)m

【答案】D

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：ABJLBC,DE±BC,ADIIBC,

四边形ABCD是矩形，

BC=15m,AB=1.5m,

AD=BC=15m,DC=AB=1.5m,

在RtAAED中，

•••ZEAD=30",AD=15m,

ED=AD»tan30°=15x叵=S圾，

3

CE=CD+DE=(5V3+|)m.

故答案为：D.

【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD=BC=15m,DC=AB=1.5m,在RSAED中，求出ED=

AD»tan30°=56,利用CE=CD+DE即可求出结论.

8.如图，4ABC内接于。0,/BAC=120°,AB=AC,BD是。。的直径，若力。=3,贝UBC=

()

A.2V3B.3V3C.3D.4

【答案】C

【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形

【解析】【解答】解：过点。作OFJ_BC于F,

BF=CF=-BC,

2

,/AB=AC,ZBAC=120°,

ZC=NABC=(180°-ZBAC)4-2=30°,

zC与ND是同弧所对的圆周角，

/.ZD=ZC=30°,

VBD为OO的直径，

ZBAD=90°,

/.ZABD=60°,

ZOBC=NABD-ZABC=30°,

,/AD=3,

・•.BD=AD+cos30°=3+3=2次，

2

OB=1BD=V3，

BF=OB»cos300=y/3x~，

22

/.BC=3.

故答案为：c.

【分析】过点。作。F_LBC于F,根据垂径定理求出BF=CF=iBC,利用等腰三角形的性质得出NC=

NABC=30。，根据圆周角定理求出ND=NC=30。，ZBAD=90°,从而求出NOBC=NABD-NABC=30。，

继而得出BD=AD4-COS30°=2V3，可求出OB=|BD=V3,由BF=OB・cos30°求出BF,从而求出BC

的长.

9.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27,则位于第32行第

13列的数是()

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-l)+l,

.♦•第32行,第32列的数据为：2x32x(32-1)+1=1985,

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,

第32行,第13列的数据为：1985+2x(32-13)=2023,

故答案为：B.

【分析】观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-l)+l,据此求出n=32时的数据，

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,从而求出结论.

10.如图，反比例函数y=：(x>0)的图象经过点4(2,1),过A作ABly轴于点B,连。4,直线

CDLOA,交x轴于点C,交y轴于点D,若点B关于直线CD的对称点B’恰好落在该反比例函数图

象上，则D点纵坐标为()

【答案】A

【考点】勾股定理，轴对称的性质，平行线分线段成比例，反比例函数图象上点的坐标特征

【解析1【解答】解：..・反比例函数y=E(x>0)的图象经过点4(2,1),

.k=2,

・・・直线OA的解析式为y=^x,

■：CD1OA,

设直线CD的解析式为y=—2x+b,

则D(Q,b),

设点B关于直线CD的对称点,

则3—1)2=。2+《一人)2①,

旦BB'“OA,

2

即匚！=工，解得。=而—1,

a2

代入①可得b=56

4

故答案为：A.

【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式求出k=2,即得y=|,利用待定系数法求出直线0A的解

析式为y=：久，由CD1。4可设直线CD的解析式为y=—2x+b.可得D(O,b),可设

8'(a$,利用勾股定理可得(b-=a?+吟-b)2①，由BB，〃04，可得二2=：,求出a值，

然后将a值代入①求出b值即可.

二、填空题(共5题；共6分)

11.已知xy=2,x-3y=3,则2x3y-12x12y2+18xy3=.

【答案】36

【考点】因式分解的应用

【解析】【解答】丫xy=2,x-3y=3,

原式=2xy(x—3y/=2x2x32=36,

故答案是：36.

【分析】利用因式分解将原式变形为2xyQ-3y尸，然后整体代入计算即可.

12.如图，。是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周

长为.

【答案】20

【考点】矩形的性质，三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点,

11

/.OM=-CD=-AB=2.5,

22

•，,AB=5,AD=12,

AC=V52+122=13,

O是矩形ABCD的对角线AC的中点，

BOJAC=6.5,

2

四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20,

故答案为：20.

【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长.

13.对于任意实数a、b,定义一•种运算：a⑤b=a?+炉一也，若x<8)(%-1)=3,则x的值为

【答案】-1或2

【考点】因式分解法解一元二次方程，定义新运算

【解析】【解答】解：根据新定义内容可得：x0(x-1)=x2+(x-I)2-x(x-1)=3,

整理可得X2-X-2=0,

解得%!=-1,x2=2,

故答案为：-1或2.

【分析】利用定义新运算可得工笆)。-1)=M+。一1)2一乂(尤一1)=3,然后求出方程的解即可.

14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E,以C为圆心、BC

长为半径画弧交AC于点F,则图中阴影部分的面积是.

【答案】3H-6

【考点】三角形的面积，正方形的性质，扇形面积的计算

【解析】【解答】连接BE,

■.・在正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E,

ZAEB=90°,即：AC±BE,

•••ZCAB=45",

t^ABE是等腰直角三角形，即：AE=BE,

弓形BE的面积=-7TX2^—X2X2=7T—2,

42

阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-△BCE的面积

=兀一2+竺丝上11/XC》

-2X2X4X4=3兀-6.

360

故答案是：3n-6.

【分析】连接BE,可求出△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE,由于阴影部分的面积=弓形BE的面积+

扇形CBF的面积-4BCE的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式进行计算即可.

15.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6，点P是平面内一个动点，且4尸=3,Q

为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m,则m的取值范围是.

【答案】|Sm<当

【考点】三角形三边关系，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：作AB的中点M,连接CM、QM.

"AP=3,

•••P在以A为圆心，3为半径的圆上运动，

在直角△ABC中，AB=JAC2+BC2=V82+62=10，

••M是直角△ABC斜边AB上的中点，

CM=-AB=5.

2

.Q是BP的中点，M是AB的中点，

13

MQ=-AP=-.

22

在4CMQ中，5-|<CQ<j+5,即|<m<y.

故答案是：|SmST-

【分析】作AB的中点M,连接CM、QM,在直角△ABC中，利用勾股定理求出AB=10,利用直角三角形

斜边中线的性质得出CM=|AB=5,根据三角形中位线的定理可得MQ=|AP=|,在△CMQ中，

CM-MQ<CQ<MQ+CM,据此即可求出结论.

三、解答题（共9题；共90分）

16.计算：V^cos45+(-)-1—|-3|.

【答案】解：原式=V2x^+3-3

=1.

【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】利用特殊角三角函数值、负整数幕的性质、绝对值的性质分别进行计算，再合并即可.

".化简：（黑-玲）+?•

【答案】解：原式=（痣与一品）

(a+2)(a—2)a

a(a-2/a(a-2产)a-4

a2-4-a2+aa

------------------------------•------------

a(a-2)2a-4

a-4a

a(a—2)2a—4

]

(a3

【考点】分式的混合运算

【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化

简.

18.为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动.赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得

分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图.

等级成绩（X）人数

A90<x<10015

B80<x<90a

C70<x<8018

D%<707

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中a=；扇形统计图中，C等级所占的百分比是；D等级对应的扇形圆心角为

度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有

________人.

（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市

级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率

【答案】（1）20；30%；42°；450

（2）解：列表如下：

甲乙丙一「

甲甲乙甲丙甲J-

乙甲乙乙丙乙丁

内甲丙乙丙丙丁

T甲丁乙丁丙丁

共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，

，P（甲、乙两人至少有1人被选中）

126

【考点】用样本估计总体，统计表，扇形统计图，列表法与树状图法

【解析】【解答】解：（1）总人数为15+2=60人，

・•・a=60-15-18-7=20,

C等级所占的百分比券x100%=30%,

60

D等级对应的扇形圆心角｝x360=42°,

60

若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有1800X^=450人；

【分析】（1）先求出抽取总人数，再利用总人数分别减去A、C、D等级人数，即得a值；利用C等级人

数除以总人数，再乘以100%即得C等级的百分比；利用D等级的百分比乘以360。即得D等级对应的扇形

圆心角度数；利用样本中A等级百分比乘以1800,即得结论；

（2）利用列表法列举出共有12种等可能情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，然后利

用概率公式计算即可.

19.已知关于x的一元二次方程%2-4%-2m+5=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数m的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.

【答案】（D解：丫一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根，

Zl=16-4（-2m+5）>0,

解得m>|

（2）解：设该方程的两个根为打、x2,

该方程的两个根都是符号相同的整数，

xrx2=-2m+5>0,XI+%2=4,

m的值为1或2,

当m=1时，方程两个根为Xj=1>小=3；

当加=2时，方程两个根5与x2不是整数；

m的值为1

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】(1)根据一元二次方程/一4%一2机+5=()有两个不相等的实数根，可得△>0,据

此解答即可；

(2)设该方程的两个根为％、打，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可

得/%2=-2血+5>0,与+&=4,可得m的范围，然后求出其整数解即可.

20.如图，已知AABC中，D是4C的中点，过点D作DE1AC交BC于点E,过点A作AF//BC交

DE于点F,连接AE>CF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若CF=2,ZFAC=30°,=45°，求4B的长.

【答案】⑴证明：AF//BC,

•••NFAD=ZECD,

■二D是AC的中点，DELAC,

NFDA=/EDC,AD=CD,

△ADF=△CDE，

・•.AF=CE,

四边形AECF是平行四边形，

DE1AC,

，平行四边形AECF是菱形

(2)解：•.AECF是菱形，

AF=CF=2,

AD=AF-cos30°=用，

AC=2AD=2V3,

过点A作AM1BC,

AM=AC-sin30°=遮，

AM

AB

sin450

【考点】菱形的判定与性质，解直角三角形，三角形全等的判定(ASA)

【解析】【分析】(1)利用平行线的性质可证得NFAD=NECD,利用垂直的定义和线段中点的定义可证得

ZFDA=ZEDC,AD=CD,利用ASA可证得△AD也△CDE,利用全等三角形的性质可证得AF=CE；再利用一

组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平

行四边形是菱形，可证得结论.

(2)利用菱形的性质可求出AF的长，利用解直角三角形求出AD的长，即可求出AC的长；过点A作

AM±BC,利用解直角三角形求出AM,AB的长.

21.如图，已知AB是。。的直径，C为。。上一点，NOCB的角平分线交O0于点D,F在直线

AB上，且。尸1BC,垂足为E,连接4。、BD.

(1)求证：DF是0。的切线；

(2)若tan4=：,。。的半径为3,求EF的长.

【答案】(1)证明：连接0D,

0D=0C,

•••NOCD=ZODC，

CD平分/OCB，

•••ZOCD=/BCD,

/ODC=/BCD,

OD“BC,

,/DF1BC

・•・ODIDF,

「•DF是OO的切线

（2）解：:NADO+NBDO=90°,ZFDB+ZBDO=90°，

・•・ZADO=/FDB,

ZADO=ZOAD,

・•.ZOAD=NFDB,

△ADFDBF,

DBDFBF1

—AD=—AF=—DF=tan^71=2-,

DF=-AF=2BF，

2

即|（^F+6）=2BF,解得BF=2,DF=4,

OD1.DF,BELDF,

△ODFs&BEF,

,解得EF=-

DFOF2+35

【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形

【解析X分析［（1）连接OD,利用角平分线的定义和平行线的性质可证得NODC=NBCD,可推出ODIIBC,

结合已知条件可得到ODLDF,然后利用切线的判定定理可证得结论.

（2）利用余角的性质可证得NADO=NFDB,再证明NOAD=NFDB,可证得△ADF-△DBF,利用相似三角

形的性质及锐角三角函数的定义可证得DF=2BF,由此可求出BF,DF的长；再证明△ODF。ABEF,利用相

似三角形的对应边成比例可求出EF的长.

22.某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价

y（元/版）与时间x（天）之间的函数关系式为：、=严及:怒1气就且x为整数，且日销量

m&g）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系,如下表：

时间X（天）13610

日销量m（kg）142138132124

填空：

（1）m与x的函数关系为；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售Kg商品就捐赠n元利润（n<4）给当地福利院，后

发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围.

【答案】（1）m=-2x+144

（2）解：当1WxW20时，

销售利润W=my-20m=（-2x+144）（0.25x+30-20）=-|（x-16）2+1568,

当x=16时，销售利润最大为1568元；

当20cx<40时，

销售利润W=my-20m=-30x+2160,

当尤=21时，销售利润最大为1530元；

综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元

(3)解：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：

W'—my-20m—nm—(0.25x+10—n)(-2x+144)=—1x2+(16+2n)x+1440—144n,

1WXM20时，Wz随x的增大而增大，

对称轴16+2n420,解得0<n<2

【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【解答］解：(1)设m=+b,将(1,142)，(3,138)代入可得：

f142=k+bZBfk=-2

138=3k+bb=144

m=—2x+144；

【分析】(1)利用待定系数法求出m与x的函数解析式.

(2)当14XW20,根据W二my,可得到W与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二

次函数的性质可求出销售利润最大值；当20<x“0,根据W=my,可得到W与x之间的函数解析式，利

用一次函数的性质求出销售利润的最大值，即可求解.

(2)由题意可知W'=my-2m-nm,列出函数解析式，利用二次函数的性质可求解.

23.已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线I,点P为I上一动点(不与点A重合)，连接CP,把

线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连QB.

(1)如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；

(2)如图2,当点P、B在AC同侧且AP=AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；

(3)如图3,若等边三角形ABC的边长为4,点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于

在，求线段AP的长度.

4

【答案】(1)证明：•・・线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,

/.CP=CQ,ZPCQ=60°,

，•,在等边三角形ABC中，ZACB=60°,AC=BC,

ZACP=ZBCQ,

••△ACP=△BCQ,

AP=BQ

(2)解：I，AP=AC,CA±I,

^ACP是等腰直角三角形，

^ACPSABCQ,

•1•4BCQ是等腰直角三角形，ZCBQ=90°,

...在等边三角形ABC中,AC=AB,ZBAC=ZABC=60°,

AB=AP,ZBAP=90--60°=30°,

ZABP=ZAPB=(180°-30°)+2=75°,

ZCBD=180°-75°-60°=45°,

PD平分NCBQ,

直线PB垂直平分线段CQ

(3)解：过点B作BE_U,过点Q作QFL,

由(1)小题，可知：4ACP三4BCQ,

AP=BQ,ZCAP=ZCBQ=90°,

ZACB=60°,ZCAM=90°,

ZAMB=360o-60o-90°-90o=120o,即：ZBME=ZQMF=60",

ZBAE=90°-60°=30°,AB=4,

BE=-AB=2,

2

BM=BE+sin60-=2+更=士百，

23

设AP=x,贝ljBQ=x,MQ=x--V3,QF=MQxsin600=(x--V3)x@,

332

XAPQ的面积等于f,

；APxQF=在，即：；xx(x-：百仅狼=在，解得：乂=+且或久=?6一包(不合题

242'31243333

意，舍去)，

AP=-V3+—

33

【考点】解直角三角形，旋转的性质，三角形的综合

【解析】【分析】(1)利用旋转的性质可证得CP=CQ,NPCQ=60。，利用等边三角形的性质去证明

ZACP=ZBCQ,利用SAS,可证得AACP2&BCQ,利用全等三角形的性质可证得结论.

(2)利用已知条件易证AACP是等腰直角三角形，利用全等三角形的性质可证得△BCQ是等腰直角三角

形，再利用等边三角形的性质去证明AB=AP,同时可求出NBAP,ZABP,NCBD的度数，由此可证得结

论.

(3)利用全等三角形的性质可证得AP=BQ,NCAP=NCBQ=90。，再证明NQMF=NBAE=60。，同时可求出

NBAE的度数；利用直角三角形的性质可求出BE的长，利用解直角三角形求出BM的长，设AP=x,则

BQ=x,可表示出MQ,QF的长；再利用APAQ的面积=在,建立关于X的方程，解方程求出符合题意的X

4

的值，即可得到AP的长.

24.已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于点4(-1,0)和5(-5,0),与y轴交于点C,顶点为P,点N

在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M,连AC、CM.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当tan/4cM=2时，求M点的横坐标；

(3)如图2,过点P作x轴的平行线I,过M作MO11于D,若MD=6MN,求N点的坐标.

【答案】(1)解：将点4(-1,0)和点B(-5,0)代入y=ax2+bx-5得

a—b—5=0a=

解得:-1

25a-5b-5=0b=-6

：•y=—x2—6x—5

(2)解：点A作AELAC交CM的延长线于点E,过E作EF，％轴于E,如下图

・•・ZEFA=ZEAC=90°

・•・ZFAE+ZOAC=90°

又・・・ZACO+ZOAC=90°

・•・ZEAF=ZACO

AAAOC〜AEFA

.AC_AO_CO

“EA~EF~AF

vtan^TlCM=2即隼=2

ACAOCO1

—=—=—=—

EAEFAF2

当x=0时，y=-5

•••C(0,-5)即OC=5

：.EF=2,AF=10即F(-ll,-2)

•••设直线CE的解析式为