黑龙江省哈尔滨市幸福中学高三数学理联考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市幸福中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论错误的是

（

）A．命题：“若”的逆否命题为:“若，则”B.若p且q为假命题，则p、q均为假命题C.“”是“”的充分不必要条件D.命题:“存在为实数，”的否定是“任意是实数，”参考答案：B略2.已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：A考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值．解答： 解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，则=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2，故选：A．点评： 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．3.小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为

（

）

A．30％

B．10％

C．3％

D．不能确定参考答案：C4.对于任意两个实数a,b定义运算“”如下：则函数的最大值为

(

)A、25B、16C、9

D、4参考答案：C略5.已知圆的方程为,则此圆的半径是(A)1

(B)

(C)2

(D)参考答案：C略6.已知平面和共面的两条不同的直线，下列命题是真命题的是（

）A．若与所成的角相等，则

B．若，，则

C.若，，则

D．若，，则参考答案：D7.已知是函数的导数，满足，且，设函数的一个零点为，则以下正确的是A.

B.

C.

D.参考答案：D8.不等式组表示的平面区域（阴影部分）是（）参考答案：B由题意可知（0，0）在下方，满足；（0，0）在下方，不满足9.复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=

.参考答案：6.本题主要考查了双曲线的基本定义和三角形内角平分线定理，难度较高。

由题意得焦点坐标：、，,由角平分线定理得：,①

由双曲线定义得：②

联立得.12.已知函数如果使等式成立的实数分别都有3个，而使该等式成立的实数仅有2个，则的取值范围是

.参考答案：13.如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是

。参考答案：14.在中，角所对的边分别为，若，，，则

。参考答案：15.的展开式中的常数项为

．参考答案：2416.已知，则是的

条件。参考答案：充分不必要条件17..已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为

．参考答案：9作可行域，则直线过点A(2,2)时取最小值，此时最优解为(2,2)，即当且仅当时取等号，即的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围．（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求证．参考答案：见解析（Ⅰ），∴时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．又，∴在处取得极大值，∵若使得在区间上存在极值，其中，∴，∴．∴的取值范围为．（Ⅱ）不等式，即恒成立，令，∴，令，∴，∵，∴，∴在上单调递增，∴，∴，在上也单调增，∴，∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，令，则有，∴，∴，；；，叠加得：，∴，∴，∴，得证．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，，E，F分别为PC，CD的中点，．（1）求证：CD⊥平面；（2）求三棱锥的体积．

参考答案：（1）因为是的中点，，所以，又，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，（2分）所以，所以．因为底面，平面，所以，又，，所以平面，（4分）因为平面，所以，因为，分别为，的中点，所以，所以，因为，所以平面．（6分）（2）因为为的中点，所以，（9分）因为，所以，（11分）所以，即三棱锥的体积为．（12分）20.（本小题满分12分）在中，（1）求角B

（2）若，求的值

参考答案：（1）；（2）

知识点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数解析：（1）

……………2分

……………4分

……………6分(2)

……………8分

……………10分

……………12分【思路点拨】（1）原式由正弦定理可化简为从而由余弦定理可求得，从而可求角B；（2）若，可先求，的值，从而可求sinC的值．

21.某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为（1）求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率。（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望。参考答案：解答（Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件A1，“一次都不成功”为事件A2，则：P(A)＝1－P(A1＋A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝．故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为．···································6分（Ⅱ）的可能取值为2，3，4，5.则；，，．（每对一个得1分）·····························10分∴的分布列为：2345P

··························································································································11分∴Eξ=．

1222.（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，点E在PD上，且PE：ED=2：1。（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论。参考答案：解析：（Ⅰ）证明

因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，

在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2

知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以从而

（Ⅲ）解法一

以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则

令

得解得

即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又

BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/