山西省吕梁市孝义第一中学高三数学文下学期摸底试题含解析

山西省吕梁市孝义第一中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.如图，已知线段，当点在以原点为圆心的单位圆上运动时，点在轴上滑动，设，记为点的横坐标关于的函数，则在上的图像大致是参考答案：B3.设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（

）A、0

B、7

C、14

D、21

参考答案：D.

，即，根据等差数列的性质得，即，即，即，，故选D.4.已知函数，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞1的解集为（）A． B． C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）参考答案：A【考点】指、对数不等式的解法．【分析】设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，判断g（x）的奇偶性及其单调性，求出g（﹣x）=﹣g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（﹣x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集．【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x﹣log2016（+x）﹣2016x=﹣g（x）．g′（x）=2016xln2016++2016﹣xln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增，∴由f（3x+1）+f（x）＞1，得g（3x+1）+2+g（x）+2＞4．则g（3x+1）＞g（﹣x）．∴3x+1＞﹣x，解得x＞﹣．∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质，考查奇函数的判断方法，训练了利用导数研究函数的单调性，体现了数学转化思想方法，是中档题．5.已知集合，，则A∩B=（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据对数不等式解法求出解集得到A，根据交集运算即可得解.【详解】，所以.故选：C【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于准确求解对数型不等式和一元二次不等式.6.用数字组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略7.已知是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)内单调递减，则（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据奇偶性可知，通过对数函数单调性可知，进而根据在上单调递减得到大小关系.【详解】为定义在上的偶函数

且在上单调递减，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，关键是能够利用奇偶性将自变量化到同一个单调区间内，进而根据单调性得到函数值的大小关系.

8.（5分）设a∈R．则“”是“|a|＜1”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件参考答案：C【考点】：其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：由可得a＜1，不能推出“|a|＜1”成立．当“|a|＜1”时，﹣1＜a＜1，能推出a＜1，由此得出结论．解：由可得，即a﹣1＜0，即a＜1，故不能推出“|a|＜1”成立．当“|a|＜1”时，有﹣1＜a＜1成立，能推出a＜1．故“”是“|a|＜1”成立的必要不充分条件，故选C．【点评】：本题主要考察充分条件、必要条件、充要条件的定义，分式不等式的解法，属于中档题．9.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M处条件可以是（）A．k＞32 B．k≥16 C．k≥32 D．k＜16参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，输出结果为31，退出循环，即可得出结论．【解答】解：由题意，k=1，S=0，S=S+k=1，k=2，S=3，k=4，S=7，k=8，S=15，k=16，S=31，k=32，符合条件输出，故选C．10.某班全体学生测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若高于80分的人数是15，则该班的学生人数是（）A.40 B.45 C.50 D.60参考答案：C【分析】根据给定的频率分布直方图，可得在之间的频率为0.3，再根据高于80分的人数是，即可求解学生的人数，得到答案．【详解】由题意，根据给定的频率分布直方图，可得在[80,100]之间的频率为，又由高于80分的人数是15，则该班的学生人数是人，故选C．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为

辆．

参考答案：7612.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于．参考答案：3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x1x2=，求出A、B的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，|AB|=x1+x2+p==p，即有x1+x2=p，由直线l倾斜角为60°，则直线l的方程为：y﹣0=（x﹣），即y=x﹣p，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2=0，则x1x2=，可得x1=p，x2=p，则==3，故答案为：3．【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．13.计算：=

．（为虚数单位）参考答案：因为.14.过原点且与向量=垂直的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为．参考答案：2考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径半弦长满足的勾股定理求解半弦长即可得到结果．解答：解：因为过原点且与向量=垂直的直线的斜率为：，所以直线方程为：y=x，圆x2+y2﹣4y=0的圆心（0，﹣2），半径为2，圆心到直线的距离为：=1，圆心到直线的距离，半径半弦长满足的勾股定理，所以半弦长为：，所以所求弦长为：2；故答案为：2．点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线方程的求法，考查计算能力．15.已知，，若，或，则m的取值范围是_________。参考答案：首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。而对，或成立即可，故只要，，(*)恒成立即可．①当时，，不符合(*)式，舍去；②当时，由<0得，并不对成立，舍去；③当时，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。16.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使f（x）＞0成立的x的取值范围为．参考答案：（﹣1，0）∪（0，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．【解答】解：根据题意，令g（x）=，又由f（x）为偶函数，则g（﹣x）==，故g（x）为偶函数，且g′（x）==，又由当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则当x＞0时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）=0，所以g（1）==0，且g（x）为偶函数，则有|x|＜1，解可得x∈（﹣1，0）∪（0，1）；即g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零，则f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，关键是构造函数g（x）=，想到通过构造函数解决．17.已知函数,等比数列{an}的前n项和为,的图象经过点,则=

参考答案：C.∵函数f(x)=1-2x经过点(n,Sn),∴Sn=1-2n,∴数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列，∴{an}的通项公式为an=-2n-1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝mlnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，1

试比较g（a）与g（1）的大小；2

求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．参考答案：解：（Ⅰ）由，可得，因为函数是函数，所以，即，因为，所以，即的取值范围为.……………3分（Ⅱ）①构造函数，则，可得为上的增函数，当时，，即，得；当时，，即，得；当时，，即，得.…6分②因为，所以，由①可知，所以，整理得，同理可得，…，.把上面个不等式同向累加可得.…………12

略19.

已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(Ⅰ)分别写出曲线与曲线的普通方程；

(Ⅱ)若曲线与曲线交于两点，求线段的长.参考答案：（1）曲线，………………2分曲线：………………4分（2）联立，得，设，则于是.故线段的长为.………………10分20.（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N*．（I）求通项an；（Ⅱ）设bn=an﹣n﹣4，求数列{|bn|}的前n项和Tn．参考答案：见解析【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用已知条件和变形等式an=4Sn﹣1+1推知数列{an}是等边数列，根据等比数列的通项公式进行解答；（Ⅱ）利用（I）中的通项公式推知{|bn|}的通项公式．然后由分组求和法来求数列{|bn|}的前n项和Tn．【解答】解：（I）∵an+1=4Sn+1，①∴当n≥2时，an=4Sn﹣1+1，②由①﹣②，得an+1﹣an=4（Sn﹣Sn﹣1）=4an（n≥2），∴当n≥2时，an+1=5an（n≥2），∴=5．∵S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N*．∴，解得，∴=5，∴数列{an}是首项a1=1，公比为5的等边数列，∴an=5n﹣1；（Ⅱ）由题意知|bn|=|5n﹣1﹣n﹣4|，n∈N*．易知，当n≤2时，5n﹣1＜n+4；当n≥3时，5n﹣1＞n+4．∴当n≤2时，|bn|=n+4﹣5n﹣1；当n≥3时，|bn|=5n﹣1﹣（n+4），∴T1=b1=4，T2=b1+b2=5．当n≥3时，Tn=T2+b2+b3+…+bn=5+[52﹣（3+4）+[52﹣（4+4）]+…+[5n﹣1﹣（n+4）]=5+（52+53+…+5n﹣1）﹣[（3+4）+（4+4）+…+（n+4）]=5+﹣=．又∵T1=4不满足上式，T2=5满足上式，∴Tn=．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的定义的灵活运用．21.椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，且直线BF1被圆所截得的弦长为2．

（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为的重心，探求的面积S是否为定值，若是