湖南省常德市子良学校高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省常德市子良学校高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设正项等比数列的前项和为，公比为，若，则 A．

B．

C．

D．参考答案：B2.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（A）向右平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位

（D）向左平移个长度单位参考答案：A略3.已知复数,则“”是“是纯虚数”的（

）A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C4.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A．6 B．12 C．18 D．24参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，分别求出每一种情况下的选法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，则有C32?C31=9种选法；②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，则有C32?C31=9种选法；则一共有9+9=18种选考方法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，分类讨论注意不能有重复和遗漏的情况．5.给出下列命题，其中错误的是（） A． 在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB B． 在锐角△ABC中，sinA＞cosB C． 把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象 D． 函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）最小正周期为π的充要条件是ω=2参考答案：考点： 命题的真假判断与应用．专题： 阅读型；三角函数的图像与性质．分析： 由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只对自变量x而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D．解答： 解：对于A．在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，故A正确；对于B．在锐角△ABC中，A+B＞，则A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上递增，则sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正确；对于C．把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的图象，故C正确；对于D．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin（ωx），最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D错．故选D．点评： 本题考查三角函数的图象和性质，考查三角形的边角关系和正弦定理的运用，正弦函数的单调性，以及三角函数的图象平移规律，周期公式，属于中档题．6.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是(

)A.

B．

C．

D．参考答案：C对应的点的坐标是,故选C．7.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边长，如图，在三角形内任取一点，则该点落入矩形内的最大概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：1、基本不等式求最值；2、几何概型概率公式.8.已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.其中正确的是（

）A．①②

B．①③

C．①②③

D．①②③④参考答案：C①设，则，为定值，所以①正确；②因为四边形四点共圆，所以，又由①知，所以，为定值，故②正确；③因为，所以过点的曲线的切线方程为，所以，，所以，为定值，故③正确；.④，不是定值，故④不正确,故选C.拓展：①从以上证明不难看出：为定值。而且，的面积也均为定值。②如果是图象上任意一点，过点作直线和轴的平行线，交轴和直线分别为、，则是定值；是定值；、、平行四边形OAPB的面积也为定值。③以上结论在标准双曲线中也成立。9.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x的交点的个数为(

)A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C【考点】函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据函数的周期性画出函数f（x）的图象，再画出对数函数y=log7x的图象，数形结合即可得交点个数．【解答】解：∵f（﹣x+2）=f（﹣x），可得f（x+2）=f（x），即函数f（x）为以2为周期的周期函数，又∵x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，∴函数f（x）的图象如图，函数y=log7x的图象如图，数形结合可得交点共有6个．故选：C．【点评】本题考查了数形结合的思想方法，函数周期性及对数函数图象的性质，解题时要准确推理，认真画图，属于中档题．10.设偶函数满足，则不等式＞0的解集为（

）A.＜0或＞

B.＜或＞C.＜0或＞

D.＜或＞参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则当取得最大值时，角A的值为______________参考答案：12.过抛物线=2py(p>0)的焦点F作倾斜角的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值是___________．参考答案：抛物线的焦点为，准线方程为。设点，直线方程为，代入抛物线方程消去得，解得。根据抛物线的定义可知，所以.13.点到抛物线准线的距离为2，则a的值为

．参考答案：或抛物线的标准方程为，准线方程为，，解得或．故答案为或．14.下列结论：

①已知命题p：；命题q：则命题“”是假命题；②函数的最小值为且它的图像关于y轴对称；

③“”是“”的充分不必要条件；

④在中，若，则中是直角三角形。

⑤若；其中正确命题的序号为

．（把你认为正确的命题序号填在横线处参考答案：无略15.样本数为9的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于

.(保留根号）参考答案：16.小明在学校组织了一次访谈，全体受访者中，有6人是学生，4人是初中生，2人是教师；5人

是乒乓球爱好者，2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知，此次访谈中受访者最少有_____人；最多

有______人.参考答案：

考点：逻辑推理.17.若点是函数的一个对称中心，则

．参考答案：由题意，即，所以，应填答案。点睛：解答本题的思路是依据题设条件，求得，即，进而借助同角三角函数的关系求得，使得问题获解。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（Ⅱ）求使取得最大值的整数。参考答案：19.（12分）如右下图，在长方体中，已知，分别是线段上的点，且(I)求二面角的正切值(II)求直线与所成角的余弦值

参考答案：解析：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为β，则20.（13分）已知函数（1）当a=1时，求的极值；（2）当时，求的单调区间.参考答案：解析：（Ⅰ）

1分

令则

2分（-∞，）（，0）0（0，+∞）+0—0+↗极大值↘极小值↗

4分

∴当时，

5分

当时，

6分

（Ⅱ）∵=

∴

7分

①当时，

令＞0得或

8分

令＜0得

9分

∴的单调增区间为（-∞，0），（，+∞），

单调减区间为（0，）

10分

②当时，

令＞0得或

11分

令＜0得

12分

∴的单调增区间为，（0，+∞），

单调减区间为（，0）

13分

综上可知，当时，的单调增区间为（-∞，0），（，+∞），

单调减区间为（0，）

当时，的单调增区间为，（0，+∞）

单调减区间为（，0）21.设实数a、b、c成等比数列，非零实数x、y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：．参考答案：【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】先由a，b，c三数成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，根据x，y分别为a，b和b，c的等差中项，利用等差数列的性质得到两个关系式2x=a+b和2y=b+c，然后结合分析法整理即可得到结论．【解答】证明：因为a，b，c成等比数列所以

b2=ac①又x，y分别为a与b，b与c的等差中项所以

2x=a+b，2y=b+c②要证

+=2只要证

ay+cx=2xy只要证

2ay+2cx=4xy由①②得

2ay+2cx=a（b+c）+c（a+b）=ab+2ac+bc；而4xy=（a+b）（b+c）=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc成立．所以命题得证．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列及等比数列的性质进行证明以及分析法的应用，是一道中档题．22.(本题满分15分)四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足＝＝λ∈(0，1)．(Ⅰ)求证：FG∥平面PDC；(Ⅱ)求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．参考答案：方法一：