机械振动理论：非简谐周期激振的响应

1机械振动理论2在工程实际中，往往还出现更为复杂的激振函数。如：

L型空气压缩机的激振力

四轴惯性摇床的激振力

柴油机燃爆激振力

2.9非简谐周期激振的响应为非简谐周期性激振力。3一般情况下，任一周期函数都可以用富氏级数展开。可分解为一系列不同频率（为整倍数关系）的简谐函数。设周期函数为，可表达为：所以，只要已知，就可求出各系数式中三角级数系数按下式确定：4式（2-98）表明：任何一个复杂的周期激振函数

——均可以运用“谐波分析”的方法

——分解成一系列具有基频整数倍的简谐函数的叠加。5式中表示一个常力，它只影响系统的静平衡位置，如果坐标原点取在静平衡位置，此常数项就不出现在微分方程中。一个振动波所需要的时间仍称为周期；称为基频。非简谐周期激振函数作用下的有阻尼受迫振动方程式可写成：定义：说明：相当于静力6叠加原理：

线性系统在激振力作用下的响应，等于其各次谐波单独作用响应效果的叠加。所以：按上式分别计算出右侧各项响应，然后叠加即是系统对总的响应。式中:已知：单自由度系统在简谐激振力的作用下受迫振动的稳态响应为——

非简谐周期激振力：应力应变线性关系；线性系统可叠加:第J次谐波激力引起的振幅静态因子第J次两谐波激励合成矢量相位第J次谐波激励引起响应的滞后相位7已知：单自由度系统在简谐支承运动作用下的稳态响应为：激励为非简谐的周期性支承运动设：已知的周期性支承运动的规律[已用富氏级数展开]为：8同理：对式（2-104）右端各项单独求解，并应用叠加原理

——

求得系统在非简谐周期性支承运动作用下的

总响应:激励为简谐支承运动激励为非简谐的周期性支承运动

[已用富氏级数展开]所对应的振动响应所对应的振动响应9例2-6

图2-36a所示：凸轮以等角速度转动，顶杆的运动规律为（图2-36b）。

[假想分时产生位移：]

1、设：由于弹簧耦合，系统的等效弹簧刚度为:2、设：激振力为：，其力学模型如图2-35a所示。求：非简谐周期性激振的响应。10解：凸轮每转一圈[每圈内]

激振力可表示为：式中:—

凸轮的行程，cm；

—

凸轮的角速度，。将锯齿变化规律的激振力展成三角级数：

[各系数可由公式（99）、（100）和（101）计算]11式中：令：12因为：不定积分有所以：定积分有13则激振力函数的级数形式为：系统在作用下,受迫振动的微分方程式可写成：[**由来]或：

式中：周期函数展开一般式：凸轮激振力展开具体式：14出题点:1、画受力图；

2、把两弹簧所传递的弹簧力分别单独列写，列原始方程；

3、推导至下列标准方程上方程式中是一个常量，只起着改变质量静平衡位置的作用，系统对它的响应为：15系统对简谐激振项的响应为：式中：简谐激励求响应一般式：凸轮激振力求响应具体式：16系统对总的响应是和的叠加：

17例2-7

单缸活塞式发动机纵向[方向]振动分析：质量简化：整个运动部分的质量可用——

曲柄销上的质量和活塞上的质量

[连杆L的质量可以分成两部分：一部分集中在活塞上，另一部分集中在曲柄销上。其它不平衡质量也都以等效质量集中在这两点上。]振源分析：在发动机运转时，质量作等速圆周运动，产生的周期惯性力；质量作变速往复运动，产生的周期惯性力；二力作用在缸上，引起发动机的振动。求解问题：试求其垂直方向的激振力。来代表。18式中：——曲柄半径；

——曲柄角速度。

解：按图2-37所取坐标，

x以向下为正，力以向下为正，则的惯性力的垂直分力为：

（只讨论垂直方向的振动）

19求质量引起的惯性力——

先求出活塞运行的加速度：因在上死点时其位置恰为坐标原点，由几何关系得：20将（ｃ）代入（ｂ）式得：，所以得：配方：加高阶小量或按下页幂级数展开2122运动表达式与一、二次导数：23于是得M2的惯性力为：故得垂直方向的激振力为：

24可见，激振力F包括两部分：一部分是具有与曲柄转速相同的频率，另一部分则具有两倍与曲柄转速的频率。实际上它还有许多高次项，还有多次共振的可能。但高频激振力的幅值很小，按，……的比例迅速递减，所以可省略。系统将有两次共振的可能性：[注：在式（c）中只取了头两项]

一次是曲柄转速接近系统固有频率时；

另一次是当曲柄转速接近系统