湖南省怀化市益阳高平中学高三数学理下学期摸底试题含解析

湖南省怀化市益阳高平中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则是的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2.如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向处，河流的没岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远现要在曲线上选一处建一座码头，向、C两地转运货物.经测算，从到、到修建公路的费用分别是万元/km、万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（

） A．(2－2)a万

B．5a万元 C．(2+1)a万元 D.(2+3)a万元参考答案：【知识点】双曲线的几何性质

H6Ｂ依题意知曲线是以、为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点的坐标为，则修建这条公路的总费用设点、在右准线上射影分别为点，根据双曲线的定义有，所以，当且仅当点在线段上时取等号，故的最小值是.故选择Ｂ.【思路点拨】依题意知曲线是双曲线的方程为的一支，点的坐标为，则修建这条公路的总费用根据双曲线的定义有，所以.3.已知复数，则（

）A． B． C． D．参考答案：C因为复数，所以复数的共轭复数，，所以，故选C．4.已知定义在上的函数与函数的图像有唯一公共点，则实数的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】原题等价为有一解，即，令,确定其函数性质即可求解【详解】与函数的图像有唯一公共点，故有唯一解，即有唯一解令，所以g（x）关于x=2对称，故a=g(2)=2故选：D【点睛】本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题5.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）8

（B）18

（C）26

（D）80参考答案：C第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选C.6.已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合为

（

）

A.

B.C.

D.

参考答案：C略7.已知集合，，则=A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：,,所以，故选C.考点：平面向量基本定理10.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥S﹣ABCD，如图所示，则其体积为：VS﹣ABCD===．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数x，y满足，则z=2x+y的最大值与最小值的和

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（5，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×5﹣1=9．即目标函数z=2x+y的最大值为9．当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=﹣1×2﹣1=﹣3．即目标函数z=2x+y的最小值为﹣3．则最大值与最小值的和为9﹣3=6，故答案为：6．12.函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．参考答案：[﹣2，1]略13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，S△ABC=2，则a=

．参考答案：2【考点】正弦定理．【分析】利用S△ABC=bcsinA即可得出c，由余弦定理即可求a．【解答】解：在△ABC中，∵A=60°，b=2，S△ABC=2，∴2=bcsinA=，解得c=4．∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+16﹣2×=12，∴解得：a=2故答案为：2．14.规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ab=,a,b是正实数，已知1=3,则函数的值域是

参考答案：略15.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是

参考答案：设球半径为r，则．故答案为．16.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是

．参考答案：略17.已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为

▲

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0，直线l被圆C2：＋＝（r>0）截得的弦长为2．（1）求椭圆C1的方程：（2）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足｜PF1｜＝｜PF2｜，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．参考答案：（1）直线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴F1（﹣2，0）．即c=2，又e==，∴a=4，b==2，∴椭圆C1的方程为．（2）∵圆心C2（3，3）到直线l的距离d==，又直线l被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的半径r==2，故圆C2的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．设圆C2上存在点P（x，y），满足｜PF1｜＝｜PF2｜，即|PF1|=|PF2|，又F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，整理得（x﹣14）2+y2=192，表示圆心在C（14，0），半径是8的圆．∴|CC2|=，∴两圆没有公共点．∴圆C2上不存在点P满足｜PF1｜＝｜PF2｜．

19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.参考答案：（1）若时，，所以在上为减函数若时，，则则：在上为减函数，上为增函数（2）即可

令，令在上为减函数

又因为：，所以，所以，所以：a的取值范围为20.已知，其导函数为，反函数为（1）求证：的函数图象恒不在的函数图象的上方。（2）设函数。若有两个极值点；记过点的直线斜率为。问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（3）求证：。（）参考答案：解析：（1）令从而可得在上单调递减，在上单调递增，从而所得结论成立。（2）的定义域为

令从而当故上单调递增．………（*）当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．当的两根为，当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．从而当是，函数有两个极值点。又因为，所以又由(I)知，．于是若存在，使得则．即．亦即再由（*）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得（3）由（1）有（当且仅当时取等）对任意的实数均成立令，则从而结论成立略21.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为的正方形，侧棱D1D垂直于底面ABCD，且D1D=3．（1）点P在侧棱C1C上，若CP=1，求证：A1P⊥平面PBD；（2）求三棱锥A1﹣BDC1的体积V．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）依题意可得PB=，A1P=2，A1B=，满足A1P2+PB2=A1B2，可得A1P⊥PB，进而可得A1P⊥PD，由线面垂直的判定定理可得结论；（2）所求几何体的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，由数据分别求得体积作差可得答案．【解答】解：（1）依题意，CP=1，C1P=2，在Rt△BCP中，PB==，同理可知，A1P==2，A1B==所以A1P2+PB2=A1B2，则A1P⊥PB，同理可证，A1P⊥PD，由于PB∩PD=P，PB?平面PBD，PD?平面PBD，所以，A1P⊥平面PBD．（2）如图，易知三棱锥A1﹣BDC1的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即=﹣4=AB×AD×A1A﹣4×（AB×AD）×A1A==2【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，涉及三棱锥体积的求解，属中档题．22.已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}?{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式