江西省鹰潭市河潭中学高一数学理期末试题含解析

江西省鹰潭市河潭中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=落在区间（﹣3，5）的所有零点之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意别作出函数y=与y=的图象，由图得交点的个数和函数图象的对称性，并利用对称性求出函数f（x）的所有零点之和．【解答】解：由f（x）==0得，，分别作出函数y=与y=的图象如图：则函数y=与y=的图象关于（1，0）点成中心对称，由图象可知两个函数在区间（﹣3，5）上共有4个交点，它们关于（1，0）点成中心对称，不妨设关于点（1，0）对称的两个点A、B的横坐标是a、b，则=1，即a+b=2，所以所有交点横坐标之和为2（a+b）=4，即所有零点之和为4，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象交点的转化，掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键．2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯A.81盏 B.112盏 C.162盏 D.243盏参考答案：D【分析】从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为363，则，，∴．故选D．【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．3.已知等差数列{an}中，其前10项和，则其公差d=（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题意，得，解得，故选D．

4.函数的的定义域是（

）A． B．

C．

D．参考答案：C5.对任意，函数的值恒大于0，则x的范围是（

）

A.或

B.

C.或

D.参考答案：C6.点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1参考答案：A【考点】J3：轨迹方程．【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．7.若函数的定义域为[0，m],值域为，则m的取值范围是A.[0，4]

B.[，4]

C.

D.[，3]参考答案：D8.已知函数则等于（

）A．4 B．2 C．1 D．－1参考答案：B根据函数解析式知，，故选B．

9.在中，，则A的取值范围是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略10.三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有A.１条

B.２条

C.３条

D.１或２条参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC中，，，点D是AC的中点，M是边BC上一点，则的最小值是（

）A. B.－1 C.－2 D.参考答案：B【分析】通过建系以及数量积的坐标运算，从而转化为函数的最值问题．【详解】根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，．设，则，是边上一点，当时，取得最小值－1，故选B．【点睛】本题主要考察解析法在向量中的应用，将平面向量的数量积转化成了函数的最值问题．12.函数的单调递增区间为

.参考答案：(－∞,1)13.（5分）在△ABC中，=，=，若点D满足=2，则=

（用向量、表示）．参考答案：+考点： 平行向量与共线向量．专题： 平面向量及应用．分析： 根据三角形法则，写出的表示式，根据点D的位置，得到与之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果．解答： 如图所示，在△ABC中，=+又=2，∴=．∵=﹣=﹣∴=+=+（﹣）=+．故答案为：+．点评： 本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础．14.设为实数，若，则的最大值是________.参考答案：

略15.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为．参考答案：考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求解答：解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：点评：本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题16.若函数与的图象有公共点,且点的横坐标为，则的值是

。参考答案：17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则该长方体的中心M的坐标为_________．参考答案：【分析】先求出点B的坐标，再求出M的坐标.【详解】由题得B(4,6,0),,因为M点是中点，所以点M坐标为.故答案为：【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)在辽阔的草原上,一骑士从某一出发点沿着与正东方向逆时针成的方向前进m千米后,再按逆时针方向偏转角方向再前进m千米,如此进行下去,正当他前进的路程为3m千米时,恰好处在出发点正北方向.(1)求的值；(2)他能回到原出发地吗？至少需多少路程？参考答案：解（1）如图所示

①

·····（1分）

·····（4分）当点C在正北方向即又

∴∴∴

·····（7分）（2）能

·····（9分）∵

∴以O，A，B，C…...为顶点可作一个正八边形∴至少需要8m千米回到原出发点

·····（13分）说明：①②利用向量平移构成以O为起点终点在以O为圆心

为半径的圆上也可给分。略19.已知集合A=，

B=，A∩B={3，7}，求。参考答案：20.（本小题满分12分）在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0≤x≤20时，车流速度v为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)参考答案：21.设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】H5：正弦函数的单调性；GQ：两角和与差的正弦函数；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是，（k∈Z）；单调递减区间是：，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号