四川省德阳市雍城中学高三数学理下学期摸底试题含解析

四川省德阳市雍城中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.方程在[－2,4]内根的个数为（

）A.6个

B.7个

C.5个

D.8个参考答案：D由原方程的得：,同一坐标系作出函数图像如图由图象可知，共有8个交点，故选D.

2.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．3.已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（

）A．4π

B．36π

C．48π

D．24π参考答案：B4.定义域为R的偶函数f（x）满足?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，） D．（，）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），且f（4）＞g（4），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，则有g（2）＞f（2）且f（4）＞g（4），即loga（2+1）＞f（2）=﹣2，且﹣2＞loga（4+1），解得＜a＜．故选：C．5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，，已知他投篮一次得分的期望是2，则的最小值为

（

）A． B． C． D．参考答案：D6.已知全集）等于 （

） A、{2，4，6} B、{1，3，5} C、{2，4，5} D、{2，5}参考答案：A略7.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（

）(A)

(B)2

(C)

(D)2参考答案：答案：C解析：不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则依题意有，据此解得e＝，选C8.一个由三个正方体组成几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．

B.

C.9.125

D．参考答案：A9.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（） A． 一定是锐角三角形 B． 一定是直角三角形 C． 一定是钝角三角形 D． 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形参考答案：C10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，B=45°，cosA=，则b等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sinA，进而可得cosC=﹣cos（A+B）=﹣（cosAcosB﹣sinAsinB），再利用正弦定理即可得出．【解答】解：∵cosA=，A∈（0°，180°）．∴=，cosC=﹣cos（A+B）=﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）=﹣=．∴sinC==．由正弦定理可得：，∴==．故选：C．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知空间4个球,它们的半径分别为2,2,3,3,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为

参考答案：12.已知（），其中为虚数单位，则

.参考答案：113.函数是常数，的部分图象如图所示，则

参考答案：14.对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】令==，==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．【解答】解：====，====．∴（）?（）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．：=．∴=×=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．15.设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】根据不等式恒成立转化为求出z=x2+9y2的最小值即可，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+9y2，则z＞0，即=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，将y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，则判别式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值为，则a≤，则a的最大值为，故答案为：16.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x，则x的取值范围为

.参考答案：17.如图，是圆的切线，切点为，，是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径等于________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．（II）根据分层抽样，求出女生和男生得人数，再一一列举出所有得基本事件，找到所抽取的2人中至少有1名女生的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由（0.008+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.006．（4分）（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.006×10=6人，其中女生2人，男生4人．设其中女生为a1，a2，男生为b1，b2，b3，b4，从中任取两人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个，至少有1人年龄在[20，30）内的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共9个．所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为，即为．（12分）【点评】本题考查分层抽样，以及古典概型的概率公式，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力，属于中档题．19.已知函数.（1）求函数f(x)的最小值k；（2）在（1）的结论下，若正实数a，b满足，求证：.参考答案：（1）因为所以函数的最小值为

………………5分（2）由（1）知，因为所以所以……………10分20.（本小题满分13分）

已知等比数列的公比，前n项和为且成等差数列，数列的前n项和为，其中。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）设，,求集合中的所有元素之和。参考答案：21.的三个内角成等差数列，求证：参考答案：22.（14分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．参考答案：解析：（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).

∴=3；

当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

由得

又∵，

∴，

综上所述，命题“如果直线过点T(3,