288727232022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题18空间直线与平面复习与检测

专题18空间直线与平面复习与检测专题18空间直线与平面复习与检测

学习目标

1.掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，2.理解异面直线所成角的概念，

3.会画简单图形中的异面直线所成角的大小。

知识梳理

重点1

直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点与一个非零向量,那么通过点且与向量平行的直线就被唯一确定,向量叫直线的方向向量.任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量.重点2

直线一般方程与标准方程的互化标准方程化为一般方程.(方向数不全为零)一般方程化为标准方程一般方程确定直线的两平面法向量的向量积为直线的一个方向向量.（2）取方程组的一组特解得直线上一点化得直线标准方程:重点3

空间平面的一般方程一个平面I是由垂直它的非零向量n和平面上的一个点M唯一决定的。设n=（A,B,C）（不为零向量）表示垂直I的方向，称n为I的法向量由于n为平面I的法向量，M0(x0,y0,z0)为I上一点，则对于空间中任意一点M（x,y,z），M在I上当且仅当或（3.1.2—1）用坐标来表示，化为令，则得到平面的方程（3.1.2—2）这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示。反之，对于任何一个三元一次方程不全为0，不妨设，则该方程又可写成作过点，垂直于方向的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面。由此可以看出，经由坐标系，空间中的平面与一个四元数组相对应。但是，这种对应不是一对一的，对于所有的，对应同一平面。由（3.1.2—2）表示的方程称为平面的一般方程。重点4

空间中直线与平面的位置关系已知直线和平面的方程为现在我们来讨论，，在上的充要条件。因为直线的方向向量与直线平行，平面的法向量与平面垂直，所以有如果时，和又有公共点，则就整个落在上了.因此有在上空间直线与平面的交角设直线和平面的交角为.当时，；当时，；其他情况下，等于与它在上的射影直线所交的锐角.设是的方向向量与的法向量之间的夹角，则有或或因此在这两种情况下，都有.已知直线和平面的方程为设和的交角为，则例题分析

例1．如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（）A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面B．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面C．D．存在某一翻折位置，使【答案】C【详解】若为中点，连接交于点，则面，又面，所以平面平面，故A正确；取中点，则，，又，所以四边形PECQ是平行四边形，又平面，平面，所以平面，故B正确；过作平面，则在上，所以平面与平面所成锐二面角为（或其补角），，故C错误；若，又，则，故D正确，故选：C．例2．如图，在正方体中，M、N分别为，的中点，则异面直线与所成角为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，在正方体中，连接交于，连接，M、N分别为，的中点，所以，所以异面直线与所成角即与所成角，易知，故选：C.

跟踪练习1．已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（）A．l与垂直 B．l与无公共点C．l与至少有一个公共点 D．在内，l与平行，l与相交都有可能2．设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A．与 B．与C．与 D．与4．下列命题为真命题的是（）A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行5．设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直6．已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件7．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，M是的中点.（1）证明：；（2）求点B到平面的距离.8．已知如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中求解下列问题：（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成的角.9．如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为3，求异面直线与所成的角的大小.10．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．（1）求证：平面；（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离．

参考答案1．D【详解】因平面垂直于平面，令，当时满足条件，从而选项A，B都不正确；过直线a作平面，与平面，平面都不重合，直线l在内与a平行时满足条件，此时，即C选项不正确；在平面内作一直线b与直线a相交，直线l与b平行时满足条件，此时l与相交，选项D正确.故选：D2．D【详解】解：第一类：①在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；②在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；③在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；第二类：都在平面的同侧，有一个平面符合条件．综上所述，满足条件的平面共有4个．故选：D．3．A【详解】由面，为矩形，A：面，则，而与不一定垂直，不一定有面，故不一定与垂直，所以与数量积不一定为0，符合题意；B：由A知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；C：由上易知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；D：由上知，而，所以，即与数量积为0，不合题意；故选：A.4．B【详解】A.若直线l与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面α不一定垂直，A错；B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C错；D.若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，直线l与平面α可能相交也可能平行，D错．故选：B．5．C【详解】若直线l与平面平行，直线m在平面上，则直线l平行于直线m或直线l与直线m异面，所以直线l与直线m没有公共点故选：C6．B【详解】直线在平面外，包括直线与平面平行和相交，不充分，但直线∥平面，一定有直线在平面外，必要的，因此是必要不充分条件．故选：B．7．（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）底面是边长为2的正方形，，M是的中点，∴，∵∴平面∴，，∴平面，∴.（2）∵平面∴，过于点，，，(设B到面的距离为h)，∴.8．（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）在图①中，连接，如图所示.因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.因为为的中点，所以又，所以.在图②中，，所以，即.因为所以又均在平面内，所以平面（2）由（1）知，因为在平面内，所以平面以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为.因为，由得令，得，又设直线与平面所成的角为，则.故，所以直线与平面所成的角为.9．异面直线与与所成的角的大小为【详解】设正三棱柱的高为h，则，由，得.因为，所以与所成的角等于与所成的角.连接，在中，，由，得故异面直线与与所成的角的大小为.10．（1）证明见解析；（2）点A到平面PCD的距离为．【详解】（1）连接AC,∵AB=BC=1,∠ABC为直角，∴AC=,∠BAC=,又∵∠BAD=，∴∠CAD=,又∵AD=2,∴ACD为等腰直角三角形，∴AC⊥BC,又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD，又∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC;（2）∵PA⊥平面