广西壮族自治区梧州市湄江中学高一数学理上学期摸底试题含解析

广西壮族自治区梧州市湄江中学高一数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（4分）已知集合A={x|x≤4}，a=3，则下列关系正确的是（） A． a?A B． a∈A C． a?A D． {a}∈A参考答案：C考点： 元素与集合关系的判断．专题： 集合．分析： 根据元素与集合的关系进行判断，只需要a=3符合集合A中元素的属性即可．解答： 因为A={x|x≤4}，a=3，且，故a?A．故选C．点评： 本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的判断与辨析，要注意两者的区别．2.对任意

函数不为常函数，且满足，则可证是周期函数，它的最小正周期是（

）参考答案：D3.数列{an}满足a1=0，an+1=，则a2015=（）A．0 B． C．1 D．2参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而可得结论．【解答】解：∵an+1==，a1=0，∴a2==1，a3==，a4==2，a5==0，∴数列{an}是以4为周期的周期数列，又∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=，故选：B．4.函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象经过点(2，﹣1)，函数y=bx（b＞0且b≠1）的图象经过点(1，2)，则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2 B．2a＞2b C．()a＞()b D．参考答案：C【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【分析】由已知条件，把点的坐标代入对应的函数解析式，求出a=、b=2，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象经过点，∴loga2=﹣1，∴a=．由于函数y=bx（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），故有b1=2，即b=2．故有b＞a＞0，∴，故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性和特殊点，求出a=、b=2是解题的关键，属于中档题．5.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A.MN∥AB B.平面VAC⊥平面VBCC.MN与BC所成的角为45° D.OC⊥平面VAC参考答案：B【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.，分别为，的中点，，又，与所成的角为，故不正确；，，不成立，故A不正确．B.是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，，垂直⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，，又，平面，又平面，平面平面，故B正确；C.是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，，又、、、共面，与不垂直，平面不成立，故不正确；，分别为，的中点，，又，与所成的角为，故不正确；D.是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，，又、、、共面，与不垂直，平面不成立，故D不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.某三棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A．4 B．8 C．4 D．2参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由主视图和侧视图得俯视图的底和高分别为4，2，可得俯视图的面积．【解答】解：由主视图和侧视图得俯视图的底和高分别为4，2，俯视图的面积为=4，故选C．7.给出下列函数：（1）y=2x；（2）y=x2；（3）；（4）y=x2+1；（5），其中是幂函数的序号为（）A．（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3）（5） D．（1）（2）（3）参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】形如y=xα的函数的幂函数，根据幂函数的定义判断即可．【解答】解：（1）y=2x是指数函数；（2）y=x2是幂函数；（3）是幂函数；（4）y=x2+1是二次函数；（5）不是幂函数，故是幂函数的为：（2）、（3），故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．8.设集合U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,4}，则（

）A．{2}

B．{3}

C．{1,2,4}

D．{1,4}参考答案：B9.已知实数依次成等比数列，则实数x的值为(

)A.3或－3 B.3 C.－3 D.不确定参考答案：C【分析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数的值.【详解】因为实数依次成等比数列，所以有当时，，显然不存在这样的实数，故，因此本题选C.【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.10.右图是函数y=sin（ωx+j）（x∈R）在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y=sinx（x∈R）的图像上所有点 A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣）=0，若x?[f（x）+f（﹣x）]＜0，则x的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣）∪（0，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵函数是偶函数函数，∴不等式x?[f（x）+f（﹣x）]＜0等价为2x?f（x）＜0，∵在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣）=0，∴在区间（0，+∞）上单调递增，且f（）=0，则对应的图象如图：当x＞0，f（x）＜0，由图象知此时0＜x＜，当x＜0，f（x）＞0，x＜﹣，综上不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（0，），故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．12.已知，则

.参考答案：略13.已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列的通项公式为

；参考答案：an＝2n－114.等差数列中，，记数列的前n项和为，若对任意恒成立，则正整数m的最小值为

.参考答案：5

略15.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么参考答案：由题可得：.16.计算_____________．参考答案：。答案：

17.已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．参考答案：（1，2）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点P（﹣1，2）．圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=4．（1）求过点P的圆C的切线方程；（用直线方程的一般式作答）（2）设圆C上有两个不同的点关于直线l对称且点P到直线l的距离最长，求直线l的方程（用直线方程的一般式作答）参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设过P（﹣1，2）的切线为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点P的圆C的切线方程，并求此切线的长度；（2）确定l经过圆C的圆心C（1，﹣2），使P到l的距离最长，则l⊥PC，直线PC的斜率kPC=﹣2，可得l斜率，即可得出直线l的方程．【解答】解：（1）当斜率不存在时，x=1，满足题意；…当斜率存在时，设过P（﹣1，2）是切线为y﹣2=k（x+1）?kx﹣y+k+2=0?=2?k2+4k+4=k2+1?k=﹣两条切线l1：x=﹣1；l2：3x+4y﹣5=0…（2）圆C上有两个不同的点关于直线l对称?l经过圆C的圆心C（1，﹣2）…使P到l的距离最长，则l⊥PC，直线PC的斜率kPC=﹣2?l斜率为…..?直线l：y+2=（x+1）?l方程：x﹣2y﹣3=0…．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，比较基础．19.如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面．（1）求证：；（2）若圆柱OO1的体积，①求三棱锥A1﹣APB的体积．②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）见解析；（2）①，②见解析【分析】（1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点．【详解】（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，平面又，平面，又平面，故．（2）①由题意，解得，由，得，，∴三棱锥的体积．②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．证明：∵O、M分别为的中点，则，就是异面直线OM与所成的角，又，在中，．∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．20.某工厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数R（x）=（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）根据题意，分0≤x≤5和x＞5两种情况进行讨论，分别根据利润=销售收入﹣成本，列出函数关系，即可得到利润表示为年产量的函数；（2）根据（1）所得的分段函数，分类讨论，分别求出两段函数的最值，然后进行比较，即可得到答案；（3）工厂不亏本时，则利润大于等于0，从而根据利润的表达式，列出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：（1）∵某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为0.5万元，每生产一百件这样的产品，需要增加可变成本0.25万元，产品售出的数量为x百台，销售的收入函数R（x）=（万元）（0≤x≤5），设利润函数为L（x），∴当0≤x≤5时，L（x）=（）﹣（0.5+0.25x）=，当x＞5时，只能售出5百台，∴L（x）=（5×5﹣）﹣（0.5+0.25x）=12﹣0.25x，综上，L（x）=；（2）∵L（x）=，①当0≤x≤5时，L（x）=，∵抛物线开口向下，对称轴为x=4.75，∴当x=4.75时，L（x）max=L（4.75）=10.75；②当x＞5时，L（x）=12﹣0.25x为R上的减函数，∴L（x）＜L（5）=10.75．综合①②，当x=4.75时，L（x）取最大值，∴年产量为475台时，所利润最大．（3）∵工厂不亏本时，则L（x）≥0，当0≤x≤5时，令L（x）=≥0，解得0.11≤x≤48；当x＞5时，令L（x）=12﹣0.25x≥0，解得5＜x≤48，∴年产量是0≤x≤48时，工厂才不亏本．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型，本题建立的数学模型为二次函数和分段函数，应用相应的数学知识进行求解．属于中档题．21.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且.（1）求角A；（2）若，，求a.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题设条件和三角恒等变换的公式，化简，解得，即可求解的值；（2）由正弦定理，求得，再由三角形的面积公式，求得，联立方程组，求得，，利用余弦定理，即可求解的值.【详解】（1）由题意，因为，则，整理可得：，因为，，解得，.（2）因为，由正弦定理可得：，

①因为，解得：，②所以由①②可解得：，，由余弦定理可得：.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.22.（12分）某工厂今年月、月、月生产某产品分别为万件，万件，万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产