广东省汕头市新坡中学高三数学理期末试题含解析

广东省汕头市新坡中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A2.下列函数中，值域为R的偶函数是（

）（A）y=x2+1

（B）

（C）

（D）

参考答案：C3.设复数(i为虚数单位)，则z的虚部为A.-1 B.1 C.–i D.i参考答案：B4.函数与函数的图像所有交点的横坐标之和为A.2

B.4

C.6

D.8参考答案：B将两个函数同时向左平移1个单位，得到函数，，则此时两个新函数均为偶函数.在同一坐标系下分别作出函数和的图象如图，由偶函数的性质可知，四个交点关于原点对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，所以函数与函数的图像所有交点的横坐标之和为4，选B.5.命题“若，则”的逆否命题是（

）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：C6.如图1是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为、，中位数分别为、，则A.，

B.，C.，

D.，参考答案：A，，，，，故选A.7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A.12

B.18

C.24

D.32参考答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一棱长为1的正方体，去掉一三棱锥，如图所示；∴该几何体的体积是V几何体=13﹣×12×1=．故选：A．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．9.已知平面向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【专题】计算题．【分析】先求出（）的坐标，由题意可得（）?=λ+4+9λ+6=0，解方程求得λ的值．解：（）=（λ+4，﹣3λ﹣2），由题意可得（）?=（λ+4，﹣3λ﹣2）?（1，﹣3）=λ+4+9λ+6=0，∴λ=﹣1，故选A．【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，得到λ+4+9λ+6=0，是解题的难点．10.函数的零点个数为（

）（A）2 （B）1 （C）4 （D）3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，为的共轭复数，若（是虚数单位），则

．参考答案：，12.在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是

．参考答案：2【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】令y=sin（x+）=，求出在x∈[0，2π）内的x值即可．【解答】解：令y=sin（x+）=，解得x+=+2kπ，或x+=+2kπ，k∈Z；即x=﹣+2kπ，或x=+2kπ，k∈Z；∴同一直角坐标系中，函数y的图象和直线y=在x∈[0，2π）内的交点为（，）和（，），共2个．故答案为：2．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．13.理：直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是

.参考答案：或；14.在极坐标系中，圆＝4cos的圆心到直线的距离是＿＿＿＿参考答案：115.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为

.参考答案：12画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.

16.已知数列满足，且，则的值是

参考答案：5略17.若实数满足约束条件

，则目标函数的最小值是（

）

A．0

B．4

C．

D．参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=﹣x2﹣3，且f（x）+g（x）为奇函数．（Ⅰ）求a+c的值．（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时f（x）的最小值为1，求函数f（x）的解析式．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（Ⅱ）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3，∴a+c=4．（Ⅱ）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为x=﹣，当﹣≤﹣1，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当﹣2＜≤2，即﹣4≤b＜2时，f（x）min=f（﹣）==1，解得b=﹣2或b=2（舍）；当﹣＞2，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或f（x）=x2﹣2x+3．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于中档题．19.（本题满分12分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点.（Ⅰ）求证:、、成等比数列；（Ⅱ）设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．参考答案：（I）设直线的方程为：，联立方程可得得:

①设，，，则，

②，而，∴，即，、成等比数列

…………6分（Ⅱ）由，得，即得：，，则由(1)中②代入得，故为定值且定值为…………12分20.已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(为参数）.（1）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为，求的取值范围.参考答案：（I）直线的一般方程为，曲线的直角坐标方程为.因为，所以直线和曲线C相切.（II）曲线D为.曲线D经过伸缩变换得到曲线E的方程为，则点M的参数方程为（为参数），所以，所以的取值范围.21.选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。参考答案：解：（Ⅰ）由

从而C的直角坐标方程为

………5分（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为

…………10分

22.如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求四棱锥的体积。参考答案：解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG//BC，HF//DE，又∵ADEB为正方形

∴DE//AB，从而HF//AB∴HF//平面ABC，HG//平面ABC,HF∩HG=H,∴平面HGF//平面ABC∴GF//平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图2）∵G、F分别是EC和BD的中点∴又∵ADEB为正方形∴BE//AD，BE=AD∴GM//NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF//MN，又，∴GF//平面ABC证法三：连结AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，…2分∴GF//AC，又AC平面ABC，∴GF//平面ABC（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥