东北三省四市教研联合体2024届高考模拟（一）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1东北三省四市教研联合体2024届高考模拟（一）数学试卷一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.2.下列各组向量中，可以作为基底是（）．A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．故选：B.3.已知复数满足，，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，，且，由已知得，，得，又，故，，同时平方得，，相加并化简得，而，.故选：D.4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全,根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗设经过个小时才能驾驶，则即.由于在定义域上单调递减，.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.5.已知函数，正数满足，则的最小值为（）A.6 B.8 C.12 D.24〖答案〗C〖解析〗因为，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，有，由〖解析〗式可以看出函数为减函数，因为，所以，即，因为为正数，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：C6.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为，则，故选：D.7.甲、乙、丙三人从事三项工作，乙的年龄比从事工作人的年龄大，丙的年龄与从事工作人的年龄不同，从事工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得丙的年龄与从事工作人的年龄不同，故从事工作的人不是丙，又从事工作人的年龄比甲的年龄小，故从事工作的人不是甲，则推出从事工作的人一定是乙，又从事工作人的年龄比甲的年龄小，故乙的年龄小于甲的年龄，而乙的年龄比从事工作人的年龄大，故从事工作的人是丙，可反推出从事工作的人是甲，显然甲、乙、丙的职业分别是.故选：A.8.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）A.函数的最大值为1B.函数的最小值为1C.函数的最大值为1D.函数的最小值为1〖答案〗C〖解析〗AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，故恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，，由图像可知，恒成立，故单调递增，当，，单调递减，所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.故选：C.二、多选题9.已知部分图象如图所示，则（）A.B.在区间单调递减C.在区间的值域为D.在区间有3个极值点〖答案〗AD〖解析〗由图像得，，解得，故，故此时有，将代入函数〖解析〗式，得，故，解得，而，故，此时，显然成立，故A正确，易知，，而，，又，故在区间上并非单调递减，故B错误，易知，，故在区间的值域不可能为，故C错误，当时，，，当时，取得极值，可得在区间有3个极值点，故D正确.故选：AD.10.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是（）A.0<q<1 B.a7a9<1C.Tn的最大值为T7 D.Sn的最大值为S7〖答案〗ABC〖解析〗∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，0<a8<1，∴0<q<1，故A正确；，故B正确；因为a7>1，0<a8<1，所以T7是Tn中的最大项，故C正确；因为a1>1，0<q<1，所以Sn无最大值，故D错误.故选：ABC.11.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则下列论断正确的是（）A.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为B.圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积最大时，圆柱的高为C.圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为D.圆锥内部有一个正方体，并使底面落在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，正方体的表面上与点距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线长度为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，即，又由题意得，解得，故，，设圆锥的母线与底面所成角为，故，故A正确，对于B，设圆柱的底面半径为，且，高为，当圆柱的体积最大时，圆锥和圆柱一定相接，如图，由相似性质易知，解得，设圆柱体积为，则圆柱体积为，则，令，，令，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，有最大值，但此时圆柱高为，故B错误，对于C，当球的半径最大时，该球一定与圆锥内切，截面如图，设球的半径为，且易知，则，得，解得，此时设球的内接正四面体的棱长为，如图所示，则正四面体中，，可得，在直角三角形中，由勾股定理得，解得，故球的内接正四面体的棱长为，C正确，对于D，当正方体棱长最大时，正方体内接于圆锥，轴截面如图，设正方体棱长为，则，，由，得，即，解得，易知球与正方体的交线是六条圆弧，如图所示，易知，则，，则六条圆弧总长为，则正方体的表面上与点距离为的点的集合形成的曲线长度为，故D正确.故选：ACD三、填空题12.的展开式中的系数为_____________．〖答案〗5〖解析〗，其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；的展开式通项为，，故时，得含的项为.因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为5.故〖答案〗为：5.13.直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是______．〖答案〗2〖解析〗如图，由抛物线得焦点，准线方程为，过分别作的垂线，交于，连接，则，当且仅当过点时取等，显然是梯形的中位线，又由中位线定理知，则，故到轴距离的最小值为.故〖答案〗为：214.有序实数组称为维向量，为该向量范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示）〖答案〗40〖解析〗根据乘法原理和加法原理得到．奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，，根据乘法原理和加法原理得到，两式相减得到.故〖答案〗为：2；.四、解答题15.在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理可得，所以，故，.（2）由题意可知，即，化简可得，在中，由余弦定理得，从而，解得或（舍），所以.16.已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，求的单调区间和极值；（3）若对任意，有恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，则，，，所以切线方程为．（2）当时，，．令，，故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点即：0是在R上的唯一零点当x变化时，，的变化情况如下表：x00极大值的单调递增区间为：；递减区间为：，的极大值为，无极小值.（3）由题意知，即，即，设，则，令，解得，当，，单调递增，当，，单调递减，所以，所以17.在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点．当与轴垂直时，面积为12．（1）求双曲线的标准方程；（2）当与轴不垂直时，作线段的中垂线，交轴于点．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）双曲线可化为，连接，而解得故双曲线C的标准方程为，（2），设直线的方程为，M为AB的中点，联立双曲线C与直线l，消去可得：因此进而可得即AB中点M的坐标为，线段的中垂线为，则，即，可得为定值1，即是定值，且该值为1.18.正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．（1）求证；（2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：设平面ABCD的法向量为，设平面的法向量为，，，则有，即，令，则．又题意可得，可得．因为，经过计算可得，，．将代入，可得平面的法向量．设直线DP与平面所成角的为θ．19.入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况．日期12345678910销售量（千张）1.91.982.22362.432.592.682.762.70.4经计算可得：，，．（1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；（2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求；（3）记（2）中所得概率的值构成数列．①求的最值；②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，