河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角的终边经过点，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题知，解得．故选：B.2.已知非零向量，，若，则（）A.8 B. C.6 D.〖答案〗C〖解析〗因为非零向量，且，所以，（舍去）或，，即．故选：C.3.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.如图，在中，为边的中点，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗为的中点，，．故选：D.5.如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点A，B．现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高CD为（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．故选：C.6.已知向量满足，则在方向上的投影数量为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以在方向上的投影数量为.故选：B.7.已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗由图可知，则，所以，又，，又由图可知，根据五点法作图原理，得，解得，从而，的图象关于轴对称，为偶函数，，∴，所以．故选：D.8.如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以是等边三角形，所以，因为，所以，所以，设，则，在中，由余弦定理可得，所以．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，为常数，满足条件的唯一确定，则的值可能为（）A.2 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗如图，当，时，若，是唯一确定的，符合，若，即时，有两个解，不符合，若，是唯一确定的，符合，故A，B，D正确.故选：ABD.10.已知向量，，且，则（）A.与同向的单位向量为 B.与的夹角为C. D.在上的投影向量是〖答案〗ACD〖解析〗，，，即，解得或（舍去），对于A，，，与同向的单位向量为，故A正确；对于B，，而，则，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，在上的投影向量是，故D正确．故选：ACD.11.已知函数（注：），则（）A.的最小正周期为 B.在上单调递减C.的图象关于点中心对称 D.图象的一条对称轴为直线〖答案〗BC〖解析〗对于A，，不是的周期，故A错误；对于B，当时，，，又时，，在上单调递减，故B正确；对于，设图象上任意一点，则关于点的对称点为，，的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，设图象上任意一点，则关于直线的对称点为，，的图像不关于直线对称，故D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为__________．〖答案〗〖解析〗设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，，即，，．故〖答案〗为：.13.设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则__________．〖答案〗〖解析〗，由正弦定理变形得，，又由余弦定理得，．故〖答案〗为：.14.如图，在面积为3的中，E，F分别为边AB，AC的中点，点在直线EF上，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗如图所示，取边的中点，连接，因为，所以，当且仅当时取等号，设点到边的距离为，则，当时取等号，所以的最小值为，当且仅当且时取得．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量满足，，且．（1）求；（2）在中，若，，求．解：（1）因为，可得，即，又所以．（2）在中，，可知，可得．16.已知函数的图象关于直线对称．（1）求的〖解析〗式及零点；（2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．解：（1）的图象关于直线对称，，得，又，，，令，即，得，的零点为.（2）由将的图象向右平移个单位长度，得到的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，令，，可得，，故的单调递减区间为．17.已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．（1）求的〖解析〗式；（2）完善下面的表格，并画出在上的大致图象；x000（3）当时，求的值域．解：（1）由的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，可得函数最小正周期，所以，又由一个最高点为，可得的，因为，即，可得，解得，又因为，可得，所以．（2）由（1）知，函数，完善表格如下：x012001则函数在上的大致图象如图：（3）因为，可得，当时，即时，取得最大值，最大值为；当时，即时，取得最小值，最大值为，所以函数的值域为．18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且.（1）求面积的最大值；（2）若为边BC的中点，求线段的长度．解：（1），由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，故，又，，，当且仅当时取等号，，故面积的最大值为.（2）是边BC的中点，，，，，，又由（1）知，，，，即线段AD的长度为.19.如图，记，，，已知，．（1）若点在线段OA上，且，