江苏省泰州市兴化市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市兴化市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项等合题目要求．)1.在中，如果，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，在中，由余弦定理得：.故选：A.2.在平面直角坐标系中，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知.故选：B.3.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由平方得：，所以.故选：D.4.兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图所示，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，依题意，连接，不妨设小正方形方格边长为1，则由余弦定理，，因，故得故选：B.5.已知，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗设，则，又因为，所以，化简得，所以.故选：A.6.在中，且，则错误的选项为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知，又由可得，故得为等腰直角三角形，如图，作正方形，设边长为1，连接，对于A项，，故A项正确；对于B项，，而，故B项正确；对于C项，，而，故C项错误；对于D项，，而，故D项正确.故选：C.7.已知，且满足，则可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗若A正确；则，即，显然不成立，故A错误；若B、C正确，则，即，显然不成立，故B、C错误；对于D项，，则恒成立，故D正确.故选：D.8.在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：；乙：；丙：；丁：．判断结果与其它三个不一样的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗C〖解析〗对于甲：，由正弦定理可得，即，又，所以或，即或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形且；对于乙：，由正弦定理可得，所以，又，所以，，所以，即，又，所以或，即或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形且；对于丙：，由正弦定理可得，所以，又且，所以，所以，即，所以为等腰三角形；对于丁：，由正弦定理可得，所以，即，所以，即，所以或，又且，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形且.故选：C.二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)9.对于复数，则下列结论中错误的是（）A.若，则为纯虚数 B.若，则C.若，则为实数 D.若，则不是复数〖答案〗ABD〖解析〗A：当时，为实数，故错误；B：若，则，故错误；C：若，则为实数，故正确；D：若，则是实数，故错误.故选：ABD.10.已知是方程的两根，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意可知，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，由C可知，故D正确.故选：ABD.11.在中，点分别是AB上的等分点，其中，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗选项A：，，由图易知，两向量在上的投影向量的大小是，所以A是错误的；选项B：由于是的中点，所以有，即B是正确的；选项C：，所以C是错误的；选项D：因为，，所以，，，所以，，，，所以，即由上面个等式相加得：，所以，所以D是正确的.故选：BD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．)12.向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_________．〖答案〗.〖解析〗依题意，①，选择平面的基底为时，不妨设，则②，将①式与②式对照即得：，解得即向量在基底下的坐标为.故〖答案〗为：.13.已知，则_________．〖答案〗〖解析〗由可得，因，则故故〖答案〗为：.14.已知点在单位圆上以的速度逆时针方向匀速运动，每间隔记录一次点的纵坐标，经过一小时的记录发现纵坐标始终只有两个值和，则_________．〖答案〗〖解析〗由题意可得，点每间隔转过的角度为，设点从开始转动，记录的纵坐标为，所以纵坐标的可能取值为，所以.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.已知函数．（1）求的值；（2）求的最大值及取得最大值时的值．解：（1），则有.（2）因为，所以的最大值为，此时.16.已知，求：（1）的值；（2）与的夹角．解：（1）由，得，则，而，于是，所以.（2）显然，则，而，于，所以与的夹角为.17.已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限．（1）求的值；（2）若为纯虚数，求的值．解：（1）因为，所以，因为，则有，解得，又因为所对应的点在第二象限，所以，所以．（2）因为为纯虚数，所以，即，显然，否则，不满足，所以，所以．18.已知在中，内角所对应的边为，有.（1）求角的值；（2）若点在线段AC上，且有，求．解：（1）由，由正弦定理可得，故得，又因为，则.（2）如图，由可得，则有，即，因为，则，又由正弦定理得所以有，设，则，在中，，此时为等边三角形，有，在中，由余弦定理得：，所以，所以.19.已知为所在平面内一点，满足，且的面积为．（1）求的值；（2）求的值；（3）若点是线段上一点，过点分别向作垂