内蒙古自治区呼伦贝尔市2024届高三下学期二模数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区呼伦贝尔市2024届高三下学期二模数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为中恰有三个元素，所以或或，结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.故选：D．2.若，纯虚数z满足，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设（，且），则，所以，，则.故选：B.3.设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.11 B.7 C.－1 D.－4〖答案〗A〖解析〗由约束条件作出可行域和目标函数，变形为，由于为在轴上的截距，要想得到的最大值，只需得到在轴上的截距的最小值，显然当过点时，取得最大值，联立，解得，将代入，，当直线l：经过点时，z取得最大值11．故选：A.4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗如图，当时，与可相交也可平行，故A错；当时，由平行性质可知，必有，故B对；如图，当时，或，故C错；当时，可相交、平行，故D错.故选：B.5.已知曲线在处的切线与直线垂直，则（）A.3 B. C.7 D.〖答案〗C〖解析〗由，求导得，当时，，由曲线在处切线与直线垂直，得，所以.故选：C.6.在中，，，，，则（）A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，，又，，，则.故选：A.7.椭圆E：的左、右焦点分别为，，若E上恰有4个不同的点P，使得为直角三角形，则E的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设E的上顶点为A，因为E上恰有4个不同的点P，使得为直角三角形，所以，则，所以，即，故E的离心率的取值范围为．故选：D8.已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗设没剔除两对数据前的，的平均数分别为，，剔除两对数据后的，的平均数分别为，，因为，所以，则，因为两对数据为和，所以，所以，所以，解得.故选：C.9.已知函数在上的图象大致如图所示，则的最小正周期为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，，则．，．解得，，故，则，所以，故的最小正周期为．故选：B10.已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，，即，则.当时，由，得，得，则，易知，即.又，所以是首项为1，公比为的等比数列.又单调递增，所以，解得.故选：C.11.在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题知，如图，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，球心在圆锥的高上，设圆锥的底面半径为r，高为，则，所以该圆锥的体积，则．当时，，当时，．故当时，V取得最大值，且最大值为．故选：A.12.已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（）A.0 B.50 C.2509 D.2499〖答案〗D〖解析〗因为的图象关于点对称，所以，即，从而，则的图象关于点对称．由，可得．令，得，则的图象关于直线对称．，则的图象关于点对称，则有，所以，，两式相减得，故是以4为周期的函数．因为，，，，所以．故选：D.第Ⅱ卷二、填空题13.在等差数列中，，则的前19项和______．〖答案〗76〖解析〗设的公差为d，则，即．故．故〖答案〗为：76.14.已知，是方程的两个根，则______．〖答案〗〖解析〗因为，是方程的两个根，所以，，则，所以．故〖答案〗为：15.为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有______种．〖答案〗〖解析〗若这6名教师的分组为3，1，1，1，则甲、乙必在三人组中，丙、丁分开，不同的安排方法有种；若这6名教师的分组为2，2，1，1，则甲、乙必在二人组中，丙、丁分开，不同的安排方法有种．故不同的安排方法共有种．故〖答案〗为：.16.已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.〖答案〗2〖解析〗双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故〖答案〗为：2.三、解答题（一）必考题17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，，求的面积．解：（1）因为中，由正弦定理得，所以，又由余弦定理可得，所以，即，因为，所以．（2）由（1）可知，，因，，所以，则的面积．18.为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.解：（1）由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；（2）解：设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以．20.设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.解：（1）点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.（2）设，则方程为，方程为,联立与抛物线方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.21.已知函数．（1）当时，证明：有且仅有一个零点．（2）当时，恒成立，求a的取值范围．（3）证明：．（1）证明：当时，函数定义域为，则，令，则在上恒成立，则在上单调递增，则，即在上恒成立，在上单调递增，而，，所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点．（2）解：当时，等价于，令，求导得，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，于是当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此，所以a取值范围为．（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，因此，所以．（二）选考题［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l和C恰有一个公共点，求．解：（1）消去参数t，得l的直角坐标方程；由，得C的直角坐标方程，即．（2）由（1）知，C是以为圆心，为半径的圆，由l和C恰有一个公共