陕西省西安市西咸新区2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市西咸新区2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题1.已知，是虚数单位，若，，则（）A.1或-1 B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗因为复数，所以，，所以.故选：D.2.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，而，所以.故选：C3.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（）A.-17 B.-15 C.17 D.15〖答案〗D〖解析〗因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，又，，且，则，即，所以，故选：D.4.已知变量，之间的一组相关数据如下表所示：681012632据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A.变量，之间成负相关关系 B.可以预测，当时，C. D.该回归直线必过点〖答案〗C〖解析〗对于A中，由，可得变量之间呈现负相关关系，所以A正确；对于B中，当，可得，所以B正确；对于C中，由表格中的数据，可得，则，解得，所以C不正确；对于D中，由，可得，所以该回归直线必经过点，所以D正确.故选：C.5.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，、、、对应四个三棱柱，、、、对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，则四棱锥与三棱柱的体积之比为（）A.3:1 B.1:3 C.2:3 D.1:6〖答案〗B〖解析〗如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，所以三棱柱的体积为，长方体的体积为，因为四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，所以，所以，因为四棱锥的体积为，所以四棱锥与三棱柱的体积之比为.故选：B.6.已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为偶函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，因为，所以，解得：．故选：A.7.将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有种，要使2个0相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放两个0，故排放方法有种，所以所求概率为，故选：D.8.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示，取棱的中点分别为，易知，所以异面直线与所成角的余弦值即，由正三棱柱的特征可知底面，而底面，所以，易知，由余弦定理知，故A正确.故选：A9.记函数()的最小正周期为,且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗由函数的最小正周期为，且，所以，因为，可得，所以的图象向右平移个单位后得到，因为所得函数的图象关于轴对称，所以，可得，因为，所以的最小值为.故选：D.10.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由椭圆可知，，则，由，则，则，根据，有，整理为，即，得或（舍），所以双曲线的离心率为.故选：C11.已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为;④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（）A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为，当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2，因为是圆的切线，所以，，则四边形的面积为，所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确；,，，，设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确.故选：B12.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，构造函数，则.由可知：当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得最大值.由在单调递增可知：，即.由在单调递减区间，令有两个解，且，则，可得①，得②，令，则，当时在上单调递增，当时，，即时，.若，即，结合①②，得，则有.又当时，，故，由在单调递减知：，即.故.故选：C.二、填空题13.已知向量，，则__________．〖答案〗5〖解析〗因，则.故〖答案〗为：5.14.已知实数满足，则的最小值为_________．〖答案〗〖解析〗画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，设，可得，结合图象可得，当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，即取得最小值，即目标函数取得最小值，又由，解得，所以.故〖答案〗为：.15.如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则此抛物线的标准方程为___________．〖答案〗〖解析〗设，，，抛物线准线与交与点，若，作，可得//，故，故，解得，得，将代入抛物线方程，得到，解得(正根舍去)，故，易知，故的方程为，设，联立方程组，，解得，故得，由焦半径公式得，解得，则抛物线的标准方程为.故〖答案〗为：16.在数列中，，．记是数列的前项和，则______．〖答案〗〖解析〗由题知，，当为奇数时，，所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当为偶数时，，所以所以故〖答案〗：三、解答题（一）必考题17.近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：成绩高一学生人数1551515高二学生人数10102010试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：（1）从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？（2）校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：记学生得分为，当时，奖励该学生10元食堂代金券；当时，奖励该学生25元食堂代金券；当时，奖励该学生35元食堂代金券；方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？解：（1）设高一年级学生竞赛成绩的平均数为，方差为.高二年级学生竞赛成绩的平均数为，方差为.则，，因，故高一年级学生这次竞赛成绩比较稳定集中，成绩更好；（2）按照方案一，高一年级学生获得奖励为：元，而高二年级学生获得奖励为：元，即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二；按照方案二，依题意，所抽取的100名参加竞赛学生的成绩中位数为，则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为人，则高一年级获得奖励为：元；高二年级学生成绩低于中位数的人数约为人，则高二年级获得奖励为：元.因，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二.故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二.18.在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，线段的中垂线交于点，求线段的长.解：（1）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1∵0＜C＜π∴．（2）由（1）和余弦定理知，，∴c＝5，∴，设BC的中垂线交BC于点E，∵在Rt△BCD中，，∴．19.如图，四棱锥中，平面平面，，，，且，.（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.（1）证明：由，，可得，由，且，可得，在中，，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）解：取的中点为，连接，易得，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；以为坐标原点，、所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，，，，，因为，所以，所以，，，设是平面的一个法向量，则，即，令x=1，则，所以平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，所以，故直线和平面所成角的正弦值为.20.已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求以为直径的圆的方程；（3）直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．（1）解：因为椭圆经过点，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，可得，则，所以，解得，所以椭圆的标准分别为.（2）解：由（1）得，所以直线的方程为，联立方程组，解得或，所以，则CD的中点为且，故以为直径的圆的方程为.（3）解：设直线的方程为，且，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则且，所以，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，可得的中点为，所以，所以直线的方程为，即，则直线过定点.21.已知函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．（1）解：因为，所以，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得，函数在区间上单调递增，由，得，函数在区间上单调递减．（2）证明：要证，即证，即证，设，故在上单调递增，又，所以，又因为，所以，所以，①当时，因为，所以；②当时，令，则，设，则，设，则，因为，所以，所以即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，，即．综上可知，当时，，即．（二）选考题【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，射线的极坐标方程为（），射线与曲线和直线分别交于两点，求的面积解：（