天津市重点校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市重点校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分.)1.为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则原平面图形的面积为（）A.32 B.16 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则其面积为16，结合直观图面积与原图面积之间的关系，这是因为斜二测画法中与y轴平行的线段变为原来的一半，因此直观图中高即为原来的倍，可得原平面图形的面积为.故选：C.3.在中，是角分别所对的边，，则一定是（）A.底边和腰不相等的等腰三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，由余弦定理有，整理得，即，为等腰三角形，又，所以为等边三角形.故选：D.4.已知向量满足，则（）A.3 B. C.7 D.〖答案〗D〖解析〗由两边平方得，，因，代入解得：，故.故选：D.5.在中，角所对的边长分别为，若，，，则这样的三角形解的个数为（）A.1 B.2 C.0 D.不确定〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以由正弦定理得：，即，解得，故无解.故选：C.6.在中，，是的中线，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如下图所示：因为，则，可得，因为为的中线，即点为的中点，所以.故选：B.7.冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为，则该陀螺的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由底面圆的半径为，得底面圆的面积为，又知，则，得圆柱的高等于母线长，且圆柱的母线长为，已知圆锥的高为，圆的半径为，则圆锥的母线长为：，则陀螺的表面积为：.故选：B.8.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可知，，所以，，所以，在中，由余弦定理得，所以，即两地的距离为.故选：A.9.在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝15，三棱锥S﹣ABC的体积与三棱锥S﹣A1B1C1的体积和为V＝5，∵三棱锥S﹣ABC的体积为3，∴三棱锥S﹣A1B1C1的体积2.故选：C．二、填空题(本题共5小题，每题5分，共25分.)10.复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________.〖答案〗1〖解析〗因为，所以，所以，所以的虚部为1.故〖答案〗为：1.11.已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________.〖答案〗〖解析〗记正方体棱长为a，外接球半径为R，则，解得，因为正方体的体对角线即为外接球的直径，所以，解得，所以，正方体的体积为.故〖答案〗为：.12.已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为__________.〖答案〗〖解析〗如图，在正三棱锥中，，由正三棱锥的性质可知，顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心，则，所以.故〖答案〗为：.13.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.〖答案〗〖解析〗如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径，则，取的中点，连接易知：底面中∥，，则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故，所以.故〖答案〗为：.14.如图，在中，与BE交于点，，则的值为__________；过点的直线分别交于点设，则的最小值为__________.〖答案〗4〖解析〗设，令，因为，所以，所以，又与分别共线，所以，解得，因为，所以，即，解得，即，因为，所以，所以，因为共线，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：4.三、解答题（本题共5小题，共59分.)15.设复数，其中为虚数单位，.（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围.解：（1）若是纯虚数，则，解得.（2）由题意知，解得，所以实数取值范围为.16.在中，是角分别所对的边，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由余弦定理知，，所以，即，解得或-1(舍负)，所以.（2）由正弦定理知，，所以，所以.（3）由余弦定理知，，所以.17.平面内给出三个向量，求解下列问题：（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标；（2）设向量与向量夹角为，求的值；（3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围.解：（1）向量在向量方向上的投影向量为.（2）由，得，所以.（3）若向量与向量的夹角为锐角，则，得，若向量，则，得，所以且.18.如图，已知正方体的体积为8.（1）求正方体表面积；（2）设上底面的中心为，求三棱锥的体积；（3）求三棱锥内切球(与所有面均相切的球)的半径.解：（1）设，由题意可知，，则，则正方体的表面积.（2）根据等体积公式可知，，所以三棱锥的体积为.（3）根据等体积公式可知，，因为，，所以三棱锥的表面积为，设三棱锥内切球半径为，由，得，所以三棱锥内切球半径为.19.的内角的对边分别为已知.（1）若的周长等于3，求；（2）若为锐角三角形，且；①求；②求