浙江G5联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江G5联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设向量，，且，则（）A.1 B. C.1或 D.或3〖答案〗C〖解析〗因为，所以，解得或.故选：C.2.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图，因为斜二测直观图为矩形，，，则，可得原图中（右图），，，所以四边形的面积为.故选：B.3.已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为向量，，所以，因为，所以，所以向量和向量夹角的正弦值为.故选：D.4.在中，角的平分线交于，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，因为，所以，即，又，所以，所以，所以，所以.故选：B.5.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，由，可得，故虚部为.故选：C.6.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在直角三角形中，，在中，，，故，由正弦定理，，故，在直角三角形中，．故选：D．7.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗设，则由得，由得因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为故选：A.8.已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设三棱锥外接球的半径为，则，所以球的半径为，则球的两条弦的中点为，则，即弦分别是以为球心，半径为3和2的球的切线，且弦在以为球心，半径为2的球的外部，的最大距离为，最小距离为，当三点共线时，分别取最大值与最小值，故的伴随球半径分别为，半径为时，的伴随球的体积为，当半径为时，的伴随球的体积，∴的伴随球的表面积的取值范围是．故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，则（）A.为纯虚数B.复数在复平面内对应的点位于第四象限C.D.满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线〖答案〗AD〖解析〗对A：，故为纯虚数，故A正确；对B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，故B错误；对C；，，故，故C错误；对D：令，，则由可得：，即，故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确.故选：AD.10.如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（）A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的C.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点〖答案〗BC〖解析〗设图（1）中水的高度为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为，可得图（2）中水的体积为，对于A中，由，解得，所以A错误；对于B中，若往容器内再注入升水，即，则水面上升高度为，所以水面的高度为，所以B正确；对于C中，由水的体积为，容器的体积为，所以，当容器侧面水平放置时，点点在长方体中截面上，中截面将容器内的空间分为体积相等的两部分，结合题意水面也恰好经过点，所C正确；对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为，可得，由，可得，可得，所以的体积为，可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确.故选：BC.11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（）A.B.的取值范围是C.当时的外接圆半径为D.若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗对于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正确；对于B：由正弦定理，则，为锐角三角形，则，即，，所以，故B不正确；对于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确；对于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此时，当有最大值时，即时，有最大值为，此时，，又，，，∴的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等腰梯形中，，，，，则______．（用向量，表示）〖答案〗〖解析〗如图，.故〖答案〗为：.13.已知复数满足（为虚数单位），则____________．〖答案〗〖解析〗设，由，得，所以，解得（舍去），所以.故〖答案〗为：.14.已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为______．〖答案〗〖解析〗如图，连接，作于，则是的中点，，，同理，，，所以，又，即，，所以，即，由余弦定理得，所以.故〖答案〗为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数（其中是虚数单位，）．（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）求的取值范围．解：（1），若复数是纯虚数，则，所以.（2）由（1）得，，，因为是开口向上的抛物线，有最小值，所以.16.已知，，且，，与的夹角为45°．，．（1）求的值；（2）若向量，的夹角为锐角，求实数的取值范围；（3）若四边形为梯形，求的值．解：（1），.（2）因为向量，的夹角为锐角，所以且向量，不共线，由，得，即，解得，若向量，共线，则存在唯一实数，使得，即，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.（3），，若，则存在唯一实数，使得，即，所以，解得，若，则存在唯一实数，使得，即，所以，解得，综上所述，，不同时成立，所以四边形为梯形，的值为或.17.已知正四面体的棱长为3，，，过点作直线分别交，于，．设，（）．（1）求的最小值及相应的，的值；（2）在（1）条件下，求：①的面积；②四面体的内切球的半径．解：（1）由，得，又，所以，又，，所以，因为三点共线，所以，即，又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，此时.（2）①由（1）得，，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以.②，，外接圆的直径为，所以三棱锥的高为，也即三棱锥的高为，所以，设四面体的内切球的半径为，则，解得，所以四面体的内切球的半径为.18.如图1，设半圆的半径为2，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：（1）求在圆锥中的线段的长；（2）求四面体的体积；（3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积．解：（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得，因为在图1中，点、三等分半圆，所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，所以为等边三角形，所以，所以，又因为点、分别是、的中点，所以.（2），圆锥的高，所以，所以，即四面体的体积为.（3）连接交于点，连接并延长交于点，则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，因为点、分别是、的中点，所以为的中点，且，所以，所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为．19.在中，设，，分别表示角，，对边．设边上的高为，且．（1）把表示为（，）形式，并判断能否