山西省运城市平陆县实验中学高三数学理下学期摸底试题含解析

山西省运城市平陆县实验中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象（

）A．关于对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于对称

参考答案：A函数的图象关于对称，选A.2.若，

A

B

C

D

参考答案：A由得，所以解得，选A.3.设，都是非零向量，命题P:，命题Q:的夹角为钝角。则P是Q的（

）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略4.已知是实数，则“且”是“且”的

(

).（A）充分而不必要条件

（B）充分必要条件

（C）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B5.已知四面体，平面，,若，则该四面体的外接球的体积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（

）．

（A）4x2–12y2=1

（B）4x2–y2=1（C）12x2–4y2=1

（D）x2–4y2=1参考答案：B【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．H6

解析：∵双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–y=0，∴，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线x=1上，∴c=1．联立,解得．∴此双曲线的方程为4x2–y2=1．故选B．【思路点拨】利用双曲线的渐近线的方程可得，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出．7.已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A． B． C．D．参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等求出x的值，确定出三边长，即可求出最小值的余弦值．【解答】解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：==，∴cosA=，由余弦定理，有：cosA=，∴=，即==，整理得：（x+1）2=（x﹣1）（x+4），解得：x=5，三边长为4，5，6，则cosA==．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．8.如图可能是下列哪个函数的图象（

）A. B. C. D.参考答案：C逐一考查所给的选项：A选项中：当时，不合题意；B选项中：当时，，不合题意；D选项中：当时，无意义，不合题意；本题选择C选项.9.已知函数，若，则的取值范围是 A．

B．

C．

D．参考答案：D10.若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是（

）A．0个

B．2个

C．4个

D．6个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x，y满足若z=x+2y有最大值8，则实数k的值为

．参考答案：﹣4

【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点A处取得最大值，由，解得A（0，4），A在直线2x﹣y=k上，此时0﹣4=k，解得k=﹣4，故答案为：﹣4．12.函数的定义域是

．

参考答案：答案：13.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为

．

参考答案：

14.已知，则的夹角为

.参考答案：

15.已知向量，且，则_____.参考答案：略16.已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．17.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=

．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求的表达式.参考答案：解：（Ⅰ）化简

------------------------------2分其极值点为

--------------------------------------------------------------4分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列（Ⅱ）

----------------------------------------------------------------------8分∴则相减，得∴-----------------------------------------------------------------------------------------12分19.设a，b，n∈N*，且a≠b，对于二项式（1）当n=3，4时，分别将该二项式表示为﹣（p，q∈N*）的形式；（2）求证：存在p，q∈N*，使得等式=﹣与（a﹣b）n=p﹣q同时成立．参考答案：考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（1）当n=3，4时，利用二项式定理把二项式表示为﹣（p，q∈N*）的形式．（2）分n为奇数、n为偶数两种情况，分别把展开，综合可得结论；同理可得=+，从而证得p﹣q=（a﹣b）n．解答：（1）当n=3时，=（a+3b）﹣（b+3a）=﹣；当n=4时，=a2﹣4a+6ab﹣4b+b2=（a2+6ab+b2）﹣4（a+b）=﹣，显然是﹣（p，q∈N*）的形式．（2）证明：由二项式定理得=?（﹣1）i???，若n为奇数，则=[?+??b+…+??]﹣[?+?+…+?]，分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为μ﹣λ的形式，其中μ，λ∈N*，也即=﹣=﹣，其中p、q∈N*．若n为偶数，则=[?+??b+…+?]﹣[?+?+…++…+??]，类似地，可将上式表示为μ′﹣λ′的形式，其中μ′，λ′∈N*，也即=﹣=﹣，其中p、q∈N*．所以存在p，q∈N*，使得等式=﹣，同理可得可以表示为=+，从而有p﹣q=（﹣）（﹣）=?=（a﹣b）n，综上可知结论成立．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．20.已知函数f(x)=+lnx．（a∈R）（Ⅰ）若函数在区间[，e]上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（0，+∞）内极值点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由题意可知f′（x）=﹣+≤0，a≥，则构造辅助函数，求导，根据函数函数的单调性即可求得最大值，即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）方法1：构造辅助函数，g（x）=，求导g′（x）=，根据函数的单调性即可求得g（x）最小值，根据函数的单调性及极值的判断求得函数的f（x）的极值点的个数；方法2：分类讨论，根据当a≤1时，根据函数的单调性f（x）在区间（0，+∞）递增，f（x）无极值，当a＞1时，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性与极值的关系，即可求得f（x）的极值个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：对?x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，对?x∈恒成立，令g（x）=，求导g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，∴g（）=，g（e）=ee﹣1，由ee﹣1＞，∴在区间上g（x）max=ee﹣1，∴a≥ee﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，g（x）min=g（1）=e，当a≤e时，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增，f（x）无极值点，当a＞e时，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，当0＜x＜x1，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，当x＞x2，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（x1，x2）单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1为函数f（x）的极大值点，x2为函数f（x）的极小值点，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．方法2：f′（x）=，设h（x）=ex﹣ax（x＞0），则h（x）=ex﹣a，由x＞0，ex＞1，（1）当a≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）＞h（0）=1，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；（2）当a＞1时，由h′（x）=ex﹣a＞0，则x＞lna，可知h（x）在（0，lna）内递减，在（lna，+∞）单调递增，∴h（x）max=h（lna）=a（1﹣lna），①当1＜a≤e时，h（x）＞h（x）min≥0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；②当a＞e时，h（x）min＜0，又h（0）＞0，x很大时，h（x）＞0，∴存在x1∈（0，lna），x2∈（lna，+∞），使得h（x1）=0，h（x2）=0，即f′（x1）=0，f′（x2）=0，可知在x1，x1两边f′（x）符号相反，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．21.（12分）已知函数.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足，求f(x)的取值范围．参考答案：(I),其最小正周期为因此f(x)的值域为.