第2讲 因式分解(精讲篇)-2020年数学初高中衔接讲与练_第1页
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第2讲因式分解我们把一个整式写成几个整式的乘积,称为因式分解,每一个乘式称为积的因式.在因式分解中,通常要求各个因式都是既约多项式,这样的因式称为质因式.初中阶段,我们已经掌握了因式分解的一些基本方法,本讲中的因式分解与初中相比,会出现字母多、次数高的特点,因此难度会加大。不过掌握本讲的基本方法会化难为易。我们首先要掌握十字相乘法。本讲知识结构:因式分解公式法高次多项式因式分解十字相乘法分组分解法其他方法因式因式分解因式分解各种应用一、十字相乘法 1.型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积;(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.,因此,。即-p,-q是方程x22.一般二次三项式型的因式分解大家知道,.反过来,就得到:,我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.在掌握了因式分解的四种常用方法:提取公因式法、公式法、分组分解法与十字相乘法后,我们还要了解因式分解一些基本技巧.比如:拆项与添项、主元策略、待定系数法等方法.3.拆项与添项来分解应该掌握的几个公式,,,,,,当为奇数时,.上面的几个公式都是中学阶段非常重要的恒等式,请读者加以用心体会.例1把下列各式因式分解: (1) ;(2);(3)。解:(1) (2)。.(3)。 说明用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,分别把二次项系数和常数项分解,看交叉相乘后是否是一次项系数,如果不是,再调整相关因数。例2把下列各式因式分解: (1);(2)。 分析(1)把看成的二次三项式,这时常数项是,一次项系数是,把分解成与的积,而,正好是一次项系数.解(1)。 (2)例3分解因式:(1);(2)6x2-5xy+(3)6x2-5xy+y2分析(1)把整体看作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式,这是换元思想。解 。(2)分析先把6x2-5xy+y2分解得到(3x-y)(2x-y),这时发现余下的一次式2x-y正好和前面的因式解6x2(3)分析本题与(2)类似,但后面一次项和常数项不与前面因式相同,不能像(2)那样直接提出公因式。注意到常数项是-1,所以原式分解因式后的两个因式常数项一个是1,另一个是-1,因此可以考虑试分解:6x2-5xy+y说明也可以采用待定系数法:设6x2-5xy+y2-x-1=3x-y+m2x-y+n,右边展开得3x-y+m2x-y+n=6x比较系数可得2m+3n=-1,m+n=0,mn=-1,解得m=-1,n=1,从而6x2本题还可以把x看作主元,把y看作常数,整体看成x的二次三项式,采用十字相乘法:6x2=6x实际解题个人根据自己情况选择合适的解法。本题在高中数学中的背景是方程6x26x可得3x-y-(4)仿照(3)可得===.或===.练习1分解因式:(1) (2) (3) (4) (5) (6)2.把下列各式分解因式: (1);(2);(3);(4);二、分组分解法对于四项以上的多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.例4把下列各式分解因式:(1);(2);(3);(4)。 (1)分析把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按的降幂排列,然后从两组分别提出公因式与,这时另一个因式正好都是,这样可以继续提取公因式.解说明本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组. (2)分析按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.解 说明由(1)、(2)可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用. (3)分析把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其中一个因式是;把第三、四项作为另一组,在提出公因式后,另一个因式也是.解 (4)分析提取系数2,前三项作为一组,它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.解 说明从(3)、(4)可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.练习2(1);(2)xy+ax-ay-x2;(3)(m2n+mn2-m-n);(4)三、一元高次多项式的因式分解记一元次多项式,如果用表示被除式,表示除式,表示商式,表示余式,那么,其中的次数低于的次数.当余式时,则称整除.如果多项式除以的商式是,余式是,那么,由于字母可以取得一切实数,令,则有,即,因此我们得到:余数定理:多项式除以所得的余数.特别的,当时,,即为的一个因式.因此又有:因式定理:若,则为的一个因式.例3把下列多项式分解成一次因式的积:(1)fx=x3(3)fx=x4-4x2分析根据因式定理需要确定a,使fa=0,怎么确定a?其实a就是记,若,则有fa=当和均为整数时,必能被整除.于是,a就是多项式中常数项的约数(最高次项系数为1,若最高次系数不为1,则a是最高次项的系数除以常数项的约数,想一想为什么?)。解(1)分别把x=±1,x=±2代入fx(2)分别将代入中,容易得到,、.知必有因式、、、,从而得到。(3)分别把x=±1,x=±2代入fx得f=(4)分别把x=±1,x=±13,x=±23代入f=练习3把下列各式因式分解:(1)2x3-x(3)x4+四、其他方法因式分解有时分解因式可能要综合运用多种方法,比如公式法、分组分解法、添项或拆项、提取公因式等方法。例4把各式分解因式。解1记f(x)=,f(-3)=0,f(x)有因式(x+3),运用综合除法可得商式为x2+3,因此=。解2可以对原式重新分组,以便提取公因式:===.解3也可以把原式中的9拆成1+8,以便利用立法公式:=====.例5把分解因式。解1把x看作主元,解关于x的一元二次方程求出两个根,在分解因式。令=0,则解得,,=.解2根据前两项的特点,可把原式配成完全平方差,再用平方差公式:=(x+2y)2=.例6把因式分解。解=x+y-zx==例7把分解因式。解要分解可以考虑添一项减一项,以便能有公因式提取。添或减什么呢?注意到x+1,可以想到添x2,有x2+x+1,就要减去x=x5-=x练习4把下列公式因式分解:(1)a6-7a3b3-8(3)2x4+x2y2五、因式分解解答应用例8三边,,满足a2+ab-bc+2a=2c+ca,试判定的形状.解由a2aa+b+2-ca+b+2因为a+b+2,所以a-c=0,从而a=c,所以是等腰三角形。例9证明:当为大于2的整数时,能被120整除.证明因为=n(n4=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).因为为大于2的整数,所以n最小值3,此时n-2n-1n当n大于3时,n-2n-1nn+1n+2表示连续5个正整数的乘积,一定还有因数2,3,4,5,其积为120,所以练习51.已知,求证:。2.已知多项式3x3+ax2+bx+1能被3.三边,,满足a2c+ab2-c3练习1答案1.(1)(x-1)(x-2);(2)(x+1)(x+36);(3)(x-2)(x+13);(4)(m-5n)(m+n);(5)(a-b+4)(a-b+7)(6)(7a+7b+2)(a+b-1) 2.(1)(x-3)(5x+2y);(2)(2a-5b-6)(2a-5b+6);(3)(1-2x+y)(1+2x-y);(4)=(x-3y+m)(x-5y+n),待定系数解得m=-2,n=-4.从而=(x-3y

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