高考数学二轮复习 第二篇 第18练 概率与统计的综合问题精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第18练概率与统计的综合问题[明晰考情]1.命题角度：概率与统计知识的交汇处是高考命题的考点.2.题目难度：中档难度.考点一古典概型与几何概型要点重组(1)古典概型的两个特征①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性相等.(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等.1.已知A，B两个盒子中分别装有标记为1,2,3,4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球.(1)用有序数对(i，j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；(2)甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？请说明理由.解(1)甲、乙两人抽到的小球的所有情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种不同的情况.(2)甲抽到的小球的标号比乙大，有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6种情况，故甲胜的概率P1＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，乙胜的概率为P2＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8).因为eq\f(3,8)≠eq\f(5,8)，所以此游戏不公平.2.已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y).(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于eq\f(\r(2),2)的概率.解(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.因为圆x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝eq\f(S1,S)＝eq\f(π,8).(2)由题意得eq\f(|x＋y|,\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分(含边界)所示，阴影部分面积S2＝4，所以所求概率为P＝eq\f(S2,S)＝eq\f(1,2).3.已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.解设事件A为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实数根”.(1)由题意知，基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4＞0，得a2＋b2＞4.事件A要求a，b满足条件a2＋b2＞4，包含6个基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(2)a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3,0≤b≤2.构成事件B的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a2＋b2≥4}(如图中阴影部分(含边界))，则所求的概率为P(B)＝eq\f(2×3－\f(1,4)×π×22,2×3)＝1－eq\f(π,6).考点二统计与古典概型的综合方法技巧概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，解题中首先要把数据分析清楚，明确频率可近似替代概率，抽象得到古典概型.把握基本事件的构成要素.4.(2018·东莞模拟)近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数x(户)与扶贫后脱贫家庭数y(户)的数据关系如下：政府扶贫资金数(万元)3579政府扶贫贫困家庭数x(户)204080100扶贫后脱贫家庭数y(户)10307090(1)求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少？(答案精确到0.1%).(2)从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率.解(1)几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是P＝eq\f(200,240)×100%≈83.3%.(2)由题意可知，从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取1户和7户，设从政府扶贫资金数为3万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的1户为A，从政府扶贫资金数为7万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的7户分别为B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，再从这8户中随机抽取两户的所有可能情况为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B1，B6)，(B1，B7)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B2，B6)，(B2，B7)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B3，B6)，(B3，B7)，(B4，B5)，(B4，B6)，(B4，B7)，(B5，B6)，(B5，B7)，(B6，B7)，共28种，符合题意的情况有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，共7种，故所求概率为eq\f(7,28)＝eq\f(1,4).5.(2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.6.(2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq\f(1,2)＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.考点三古典概型与统计案例方法技巧(1)回归分析和概率的交汇问题，要明确所给数据的作用，抽象出随机事件和古典概型；回归分析问题解决的关键是找到样本点，确定回归类型和回归方程.(2)独立性检验与古典概型的综合问题，要明确所要研究的分类变量，根据已知数据正确编制列联表，然后通过K2公式计算并利用参考数据得到结论.7.(2018·惠州模拟)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与4月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据4月7日，4月15日与4月21日这三天的数据，求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并判定所得的线性回归方程是否可靠？参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).参考数据：eq\i\su(i＝1,3,x)iyi＝977，eq\i\su(i＝1,3,x)eq\o\al(2,i)＝434.解(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个.设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个，故由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(3,10).(2)由题意得eq\x\to(x)＝eq\f(11＋13＋12,3)＝12，eq\x\to(y)＝eq\f(25＋30＋26,3)＝27,3eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝972,3eq\x\to(x)2＝432，且eq\i\su(i＝1,3,x)iyi＝977，eq\i\su(i＝1,3,x)eq\o\al(2,i)＝434.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,3,x)iyi－3\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,3,x)\o\al(2,i)－3\x\to(x)2)＝eq\f(977－972,434－432)＝eq\f(5,2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝27－eq\f(5,2)×12＝－3，∴y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3，且当x＝10时，y＝22，|22－23|<2；当x＝11时，y＝eq\f(49,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(49,2)－25))<2；当x＝13时，y＝eq\f(59,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(59,2)－30))<2；当x＝12时，y＝27，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(27－26))<2；当x＝8时，y＝17，|17－16|<2.∴所得到的线性回归方程是可靠的.8.(2018·马鞍山质检)某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：年龄段(岁)20～2930～3940～4950～60频数1218155经常使用多媒体教学61251(1)由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？年龄低于40岁年龄不低于40岁总计经常使用多媒体教学不常使用多媒体教学总计附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.250.150.100.0500.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635(2)若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30～39岁的概率.解(1)根据所给数据可得如下2×2列联表：年龄低于40岁年龄不低于40岁总计经常使用多媒体教学18624不常使用多媒体教学121426总计302050由表中数据可得：K2＝eq\f(50×18×14－12×62,24×26×30×20)＝eq\f(225,52)≈4.327>3.841.∴有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异.(2)由题意，得抽取6人，20～29岁有2人，分别记为A1，A2；30～39岁有4人，分别记为B1，B2，B3，B4；则抽取的结果共有15种：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，设“至少有1人年龄在30～39岁”为事件A，则事件A包含的基本事件有14种，∴P(A)＝eq\f(14,15)，即至少有1人年龄在30～39岁的概率为eq\f(14,15).典例(12分)(2018·全国Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)频数151310165

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)审题路线图eq\x(频数分布表)eq\o(→,\s\up7(计算频率))eq\x(频率分布直方图)eq\o(→,\s\up7(用频率估计概率))eq\x(节水后日用水量小于0.35m3的概率)eq\o(→,\s\up7(计算节水前后日均用水量))eq\x(估计年节水量)规范解答·评分标准解(1)4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，8分因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为eq\x\to(x)1＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为eq\x\to(x)2＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.10分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).12分构建答题模板[第一步]审数据：根据题中图表确定统计中所需的数据，并计算频率，频率/组距等；[第二步]画图表：根据所得的数据画出频率分布直方图；[第三步]估分布：根据频率分布直方图估计总体的分布或其他特征.1.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.2.(2018·新余模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.解(1)根据频率分布直方图得第一组频率为0.01×5＝0.05，∴eq\f(6,x)＝0.05，∴x＝120.(2)设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，∴a＝eq\f(95,3)≈32，中位数为32.(3)①5个年龄组的平均数为eq\x\to(x)1＝eq\f(1,5)(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组的平均数为eq\x\to(x)2＝eq\f(1,5)(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度相对更稳定.3.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了n名学生的成绩(满分100分)作为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：(1)求频率分布直方图中a，b的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；(2)规定大赛成绩在[80,90)的学生为厨霸，在[90,100]的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取2人中至少有1人是厨神的概率.解(1)由题意可知，样本容量n＝eq\f(5,0.0125×10)＝40，所以a＝eq\f(3,40×10)＝0.0075.所以10b＝1－(0.125＋0.150＋0.450＋0.075)＝0.2，所以b＝0.02，平均成绩为0.125×55＋0.2×65＋0.45×75＋0.15×85＋0.075×95＝73.5.(2)由题意可知，厨霸有0.0150×10×40＝6(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，厨神有0.0075×10×40＝3(人)，分别记为b1，b2，b3，共9人，从中任意抽取2人共有36种情况：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，a5)，(a4，a6)，