高考数学二轮复习 第二篇 第19练 直线与圆精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第19练直线与圆[明晰考情]1.命题角度：求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题.2.题目难度：中低档难度.考点一直线的方程方法技巧(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.1.设a∈R，则“a＝－2”是直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析当a＝－2时，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x－y＋4＝0，显然l1∥l2.当l1∥l2时，由a(a＋1)＝2且a＋1≠－8，得a＝1或a＝－2，所以a＝－2是l1∥l2的充分不必要条件.2.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A.0或－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)或－6C.－eq\f(1,2)或eq\f(1,2) D.0或eq\f(1,2)答案B解析依题意，得eq\f(|3m＋5|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋7|,\r(m2＋1)).所以|3m＋5|＝|m－7|，所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0，所以2m2＋11m－6＝0，所以m＝eq\f(1,2)或m＝－6.3.过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为________.答案12解析依题意，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0).∵点P(2,3)在直线l上，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝1，则ab＝3a＋2b≥2eq\r(6ab)，故ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号.因此S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥12，即S△AOB的最小值为12.4.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________.答案x＋2y－3＝0解析当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.∵A(1,1)，B(0，－1)，∴kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，∴两平行直线的斜率k＝－eq\f(1,2).∴直线l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.考点二圆的方程方法技巧(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程.5.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为()A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2答案B解析设圆心坐标为(a，－a)，则eq\f(|a－－a|,\r(2))＝eq\f(|a－－a－4|,\r(2))，即|a|＝|a－2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.6.圆心在曲线y＝eq\f(2,x)(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为()A.(x－1)2＋(y－2)2＝5 B.(x－2)2＋(y－1)2＝5C.(x－1)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y－1)2＝25答案A解析y＝eq\f(2,x)的导数y′＝－eq\f(2,x2)，令－eq\f(2,x2)＝－2，得x＝1(舍负)，平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝eq\f(2,x)(x＞0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，得切点坐标为(1,2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.7.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________.答案(x－2)2＋y2＝9解析∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0.则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f(|2a－0|,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2.∴圆C的半径r＝|CM|＝eq\r(2－02＋0－\r(5)2)＝3，因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.8.圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2eq\r(3)，则圆C的标准方程为________.答案(x－2)2＋(y－1)2＝4解析设圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)))(a>0)，半径为a.由勾股定理得(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＝a2，解得a＝2.所以圆心为(2,1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.考点三点、直线、圆的位置关系方法技巧(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq\f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.9.过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为()A.－eq\f(5,3) B.eq\f(5,3)C.eq\f(3,5) D.－eq\f(3,5)答案A解析点P(－3,1)关于x轴的对称点为P′(－3，－1)，由题意得直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切，因为P′Q：x－(a＋3)y－a＝0，所以由eq\f(|－a|,\r(1＋a＋32))＝1，得a＝－eq\f(5,3).10.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0))截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切 D.外离答案B解析化简得圆M：x2＋(y－a)2＝a2，即圆心M(0，a)，r1＝a，所以M到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))2＋2＝a2，解得a＝2(舍负)，所以M(0,2)，r1＝2，又N(1,1)，r2＝1，所以|MN|＝eq\r(2)，所以|r1－r2|＜|MN|＜|r1＋r2|，故两圆相交.11.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.答案5eq\r(2)－4解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，由点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，得(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5eq\r(2)，所以(|PM|＋|PN|)min＝5eq\r(2)－(1＋3)＝5eq\r(2)－4.12.在平面直角坐标系xOy中，以点A(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.答案(x－1)2＋y2＝2解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点P(2，－1)，当AP与直线mx－y－2m－1＝0垂直，即点P(2，－1)为切点时，圆的半径最大，所以半径最大的圆的半径r＝eq\r(1－22＋0＋12)＝eq\r(2).故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.1.直线xcosθ＋eq\r(3)y＋2＝0的倾斜角α的取值范围是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))解析设直线的斜率为k，则k＝tanα＝－eq\f(\r(3),3)cosθ.因为－1≤cosθ≤1，所以－eq\f(\r(3),3)≤－eq\f(\r(3),3)cosθ≤eq\f(\r(3),3).所以－eq\f(\r(3),3)≤tanα≤eq\f(\r(3),3).①当0≤tanα≤eq\f(\r(3),3)时，0≤α≤eq\f(π,6)；②当－eq\f(\r(3),3)≤tanα＜0时，eq\f(5π,6)≤α＜π.故此直线的倾斜角α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).2.已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________.答案x－2＝0或3x－4y＋10＝0解析当l斜率不存在时，符合题意；当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.由题意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2－k|,\r(k2＋1))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＝10，解得k＝eq\f(3,4)，此时l：3x－4y＋10＝0.综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.3.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.答案eq\r(7)解析如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2).所以|PM|的最小值为2eq\r(2).所以|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)≥eq\r(2\r(2)2－1)＝eq\r(7).解题秘籍(1)直线倾斜角的范围是[0，π)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围.(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系.1.已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.∴命题p是命题q的充分不必要条件.2.两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A.(5，＋∞) B.(0,5]C.(eq\r(34)，＋∞) D.(0，eq\r(34)]答案D解析当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为eq\r(－1－22＋[2－－3]2)＝eq\r(34)，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq\r(34)].故选D.3.过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0答案B解析依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.∵圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为eq\f(1,2)，∴切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.4.若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2eq\r(3)，则m的值为()A.1 B.－3C.1或－3 D.2答案C解析∵圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1,0)，半径r＝eq\r(5)，又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2eq\r(3).∴圆心C到直线的距离d＝eq\r(r2－\r(3)2)＝eq\r(2)，∴eq\f(|1－0＋m|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，∴m＝1或m＝－3.5.已知三点A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\f(4,3)答案B解析设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,7＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－\f(4\r(3),3)，,F＝1，))∴△ABC外接圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，∴圆心到原点的距离d＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).6.已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A.10eq\r(31) B.9eq\r(21)C.10eq\r(23) D.9eq\r(11)答案C解析易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝eq\r(2)，∴最短弦的长为2eq\r(r2－|PC|2)＝2eq\r(25－2)＝2eq\r(23)，故所求四边形的面积S＝eq\f(1,2)×10×2eq\r(23)＝10eq\r(23).7.已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于eq\f(\r(2),2)，则参数t的取值范围为()A.(2,4)∪(6,8) B.(2.4]∪[6,8)C.(2,4) D.(6,8)答案A解析把x2＋y2－4x－6y＋11＝0变形为(x－2)2＋(y－3)2＝2，所以圆心坐标为(2,3)，半径为eq\r(2)，则eq\f(\r(2),2)<eq\f(|2＋3－t|,\r(2))<eq\r(2)＋eq\f(\r(2),2)，解得2<t<4或6<t<8.8.(2018·全国Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6] B.[4,8]C.[eq\r(2)，3eq\r(2)] D.[2eq\r(2)，3eq\r(2)]答案A解析设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝eq\r(2)，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2eq\r(2)，可得dmax＝2eq\r(2)＋r＝3eq\r(2)，dmin＝2eq\r(2)－r＝eq\r(2).由已知条件可得|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP面积的最大值为eq\f(1,2)|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为eq\f(1,2)|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6].9.(2018·全国Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.答案2eq\r(2)解析由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).10.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.答案eq\f(4,3)解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆