2024年湖南省衡阳市衡南县中考模拟数学试题（含答案解析）

2024年衡南县初三教学质量检查卷数学分值：130分考试时间：110分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、学校、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上3．不能使用计算器一、单选题（共8个小题，每小题4分，共32分）1.如图所示的是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了一个字，则展开前与“冷”字相对的是（）A.仔 B.着 C.沉 D.细【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体的展开图形，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，

∴在此正方体上与“冷”字相对的面上的是“沉”．

故选：C．2.某中学初中部与高中部为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了“南岳衡山”，“岳屏公园”，“夏明翰故居”，“石鼓书院”作为候选研学基地．若随机选择，则该中学初中部与高中部最终只有一个选择南岳衡山作为年研学基地的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及该中学初中部与高中部最终只有一个选择南岳衡山作为年研学基地的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【详解】解：将“南岳衡山”，“岳屏公园”，“夏明翰故居”，“石鼓书院”分别记为列表如下：由表可知，共有种等可能的结果，其中该中学初中部与高中部最终只有一个选择南岳衡山作为年研学基地的结果有：，，，，，，共种，∴该中学初中部与高中部最终只有一个选择南岳衡山作为年研学基地的概率为，故选：D．3.如图，已知，和的平分线相交于，，则的度数为（）A.100° B.130° C.140° D.160°【答案】B【解析】【分析】连接BD，因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠CDB＝180°；又由三角形内角和为180°，所以∠ABE＋∠E＋∠CDE＝180°＋180°＝360°，所以∠ABE＋∠CDE＝360°−100°＝260°；又因为BF、DF平分∠ABE和∠CDE，所以∠FBE＋∠FDE＝130°，又因为四边形的内角和为360°，进而可得答案．【详解】连接BD，∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠CDB＝180°，∴∠ABE＋∠E＋∠CDE＝180°＋180°＝360°，∴∠ABE＋∠CDE＝360°−100°＝260°，又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE，∴∠FBE＋∠FDE＝130°，∴∠BFD＝360°−100°−130°＝130°，故选B．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．还考查了三角形内角和定理与四边形的内角和定理．解题的关键是作出BD这条辅助线．4.=（）A.9 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案．【详解】解：原式故选：C．5.已知，则化简的结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴．故选：A．6.若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值．【详解】解：，解不等式①得：x≥﹣1，∴﹣1≤x＜，∵不等式组有解且至多3个整数解，∴﹣1＜≤2，∴﹣3＜m≤6，分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），∴（m﹣2）x＝3，当m≠2时，x＝，∵x﹣1≠0，∴x≠1，∴≠1，∴m≠5，∵方程有整数解，∴m﹣2＝±1，±3，解得：m＝3，1，5，﹣1，∵m≠5，∴m＝3，1，﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程时应考虑到增根的情况，同时也考查了解不等式组的能力，以及确定不等式组中字母常数满足题意的判断方法．7.已知：如图，直线分别与轴，轴交于、两点，点，若在直线上取一点，在轴上取一点，连接、、NP，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接、、、、，分别交轴、直线于点、，交直线于点，过点作轴于点，得到（当点与点、点与点重合时取“”），此时取得最小值，确定，，在中，求出，，，，在中，根据锐角三角函数求出，，最后根据，代入数据计算即可．【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接、、、、，分别交轴、直线于点、，交直线于点，过点作轴于点，∵直线分别与轴，轴交于、两点，点，当时，得：，则，当时，得：，∴，，∴，，，，∵点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，∴，，，，，∴（当点与点、点与点重合时取“”），此时取得最小值，在中，，，∴，∴，，，∵，∴，在中，，即，∴，∴，∵轴，在中，，即，，∴，，∴，∴，则的最小值是．故选：C．【点睛】本题属于最短路径问题，考查了对称的性质，一次函数与坐标的交点，三角形三边关系，两点之间线段最短，锐角三角函数，勾股定理等知识点．通过作辅助线确定最短路径及构造直角三角形是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系内，矩形顶点与原点重合，点在第二象限，点和点在第一象限，对角线的中点为点，且点在反比例函数的图像上，若点的纵坐标为4，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b，用a,b的代数式表示B的坐标，点D的坐标，继而得到a,b的另外一个等式，联立求解即可．【详解】如图，过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b，∵四边形OCBA是矩形，∴∠BCO=90°，∴∠OCE+∠FCB=90°，∵∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC=∠ECO，∵∠F=∠CEO=90°，∴△ECO∽△FBC∴，∴FB=EC=b，FC=EO=a，∵点的纵坐标为4，∴FC+EC=4，∴a+b=4，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，则四边形BFEM是矩形，BM=4，∴OM=OE-ME=a-b，∵的中点为点，∴DN是三角形OBM的中位线，∴DN=2，ON=，∴点D（，2），∵点在反比例函数的图像上，∴×2=ab，∴a-（4-a）=a（4-a），∴a-4+3a=4a-∴=4，∴a=2或a=-2，∵点C在第一象限，∴a＞0，∴a=-2不符合题意，舍去，∴a=2，∴b=4-a=4-2，∴k=ab=2（4-2）=，故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角形的相似，互余原理，反比例函数的性质，作垂线构造相似三角形是解题的关键．二、多选题（共2个小题，每小题4分，漏选记2分，错选记0分，共8分）9.随着中考临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（

）A.月测试成绩为“优秀”的学生达到人B.月体育测试中学生的及格率为C.从月到月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长D.月增长的“优秀”人数比月增长的“优秀”人数多【答案】CD【解析】【分析】此题考查了条形统计图和折线统计图，根据条形统计图和折线统计图分别判断即可，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．【详解】解：A、测试的学生人数为：(名)，月测试成绩为“优秀”的学生达到：(人)，故选项不符合题意；B、9月体育测试中学生的及格率为：故选项不符合题意；C、由折线统计图可知，从月到月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故选项符合题意；D、月增长的“优秀”人数比月增长的“优秀”人数多，故选项符合题意．故选：CD．10.如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，下列结论中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用参数表示三角形的面积是解题的关键．①由“”可证，可得；②利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可；③作于，设，则，，通过计算证明即可解决问题；④设的面积为，由，推出，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断．【详解】解：∵四边形是正方形，，，，，，在与中，，，故A正确，符合题意；，，，，，，，，，故B错误，不符合题意；作于，设，，则，，∵，，∴，，，∵，∴，又∵，，，，，，，，，，，，故C正确，符合题意；设面积为，，∴，，的面积为，的面积为，的面积的面积，∴，∴，故D正确，符合题意，故选：ACD．三、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11.如果单项式－22x2my3与23x4yn＋1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______.【答案】－32x8y6【解析】【详解】由题意可得，解得m=2，n=2，则这两个单项式的积为：－22x4y3×23x4y3=－32x8y6.故答案为－32x8y6.【点睛】本题考查了同类项和同底数幂乘法，解此题的关键在于根据题意得到两个单项式为同类项，则相应字母的指数相等，求得指数的值，再根据同底数幂的乘法法则求解即可.12.如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________．【答案】##【解析】【分析】本题考查概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案．【详解】解：设围成的正方形的边长为a，则正方形的对角线长为，五号板的直角边为，∴六号板的一边为，另一边为：∴六号板的面积为正方形的面积为：所以停在1号板区域的概率是故答案为：13.如图，在中，若是关于的方程的两根，且的周长是10，则__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，若是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系得，再证得，得到则，接着利用面积法得到，然后根据勾股定理得到即所从而可方程得到的长，于是可求得的值．【详解】解：∵是关于的方程：的两根，∴，又∵∴，∴，∴，∴，解得：∵的周长是，∴解得：∵，，故答案为：．14.已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：在平面直角坐标系中，已知过点的直线的方程为，直线的方程为，记直线与直线的夹角为（为锐），则______________．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了新定义下的运算点到直线的距离，求一次函数解析式，两点之间的距离，正切值的定义，以及勾股定理，理解点到直线的距离是解题的关键．先求出直线的解析式，交点坐标B，以及A，B两点之间的距离，然后利用点到直接的距离求出，利用勾股定理求出，最后根据正切得定义求解即可．【详解】解：∵直线过点，∴，∴，∴直线，联立两直线，解得：，根据题意画图如下：即，，，∴，点到直线的距离为：，∴，∴，故答案为：2．15.定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为________________．【答案】或【解析】【分析】本题考查中位数，函数的图像等知识，解题的关键画出函数的图像，观察图像，利用图像法解决问题即可．也考查了函数图像之间的交点坐标．【详解】解：由题意：函数的图像如图所示（图中实线）．由，解得：或，∴，，由，解得：或，∴，，由，解得：，∴，由，当时，得，即函数图像与轴的交点坐标为，∵函数与直线有个交点，且，观察图像可知：符合条件的的取值范围是：或．故答案为：或．四、解答题（共70分）16.（1）计算：；（2）解不等式：；（3）先化简再求值：，其中【答案】（1），（2），（3），．【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可；（2）根据二次根式有意义的条件和解不等式的方法，可以解答本题；（3）先化简括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：（1）原式；（2）∵，∴且且，解得：；（3），当时，原式．17.已知、是关于的方程的两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）已知等腰的一边长为1，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．（1）由根的判别式即可得；（2）分情况讨论，当时和当时，分别求出方程的根，再根据三角形三边之间的关系判断计算可得答案．【小问1详解】解：由题意得，解得：；【小问2详解】根据题意，∵时，∴只能取或，即1是方程的一个根，将代入方程得：解得：，当时，代入原方程可得∶，解得方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为1、1、3，此时不能构成三角形；当时，则，解得：，此时方程为：即：，即，解得：，此时三角形三边分别为1、、，此时三角形的周长为：．综上，三角形的周长为4．18.为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：种类数量（份）你根据以上信息，解答下列问题：（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；（3）经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？【答案】（1）12（2）（3）①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元【解析】【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；（2）根据题意画树状图，即可解答；（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．【小问1详解】解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．故答案为：12；【小问2详解】树状图如下：根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，∴小芳选择“”组合的概率为；【小问3详解】①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，平均利润为：（元），∵，因此应调低午餐单价；②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．19.如图，直线经过点与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且．过D点作轴交直线于C点，反比例函数经过点C．（1）求b和反比例函数的解析式；（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形为菱形时，求出m的值，并判断点P是否在反比例函数图象上；（3）点E是x轴上一点，且是等腰三角形，求所有点E的坐标．【答案】（1），（2）反比例函数图象上存在点P，使四边形为菱形，此时点（3）符合条件的点E坐标为或或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出，进而求出点D的坐标，即可求出点C坐标，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）利用菱形的性质判断出点P的坐标，即可得出结论；（3）设，结合，，得到三条边的长度，利用等腰三角形的性质列出方程并解答．由于没有指出等腰三角形的底边或腰长，所以需要进行分类讨论．【小问1详解】解：（1）∵直线经过，∴，∴，∴直线的解析式为．当时，，∴．∴．∵，∴，∴，把代入，∴，∵反比例函数经过点C，∴，∴反比例函数解析式为；【小问2详解】如图，∵将点B向右平移m个单位长度得到点P，∴．∵当四边形是菱形时，，，轴，∴点P和点B关于对称，即点P和点B关于直线对称∴点P的坐标为，∵当时，，∴点P在反比例函数图象上，∴反比例函数图象上存在点P，使四边形为菱形，此时点．【小问3详解】设．∵，，∴，，，是等腰三角形，分三种情况：①，则，∴或，∴符合条件的点E坐标为或；②，则．此时或（舍去）．∴符合条件的点E坐标为；③，则．此时符合条件的点E坐标是．综上所述，符合条件的点E坐标为或或或．【点睛】本题主要考查考查了待定系数法求一次函数求反比例函数解析式，菱形的性质，对称的性质，两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，求出点P的坐标是解本题的关键．20.如图（1），在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），．‍（1）用含t的代数式表示；（2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值；（3）如图（2），延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）（2）或（3）当或时，为直角三角形【解析】【分析】本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，本题第（2）（3）问要注意分类讨论．（1）作于，得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由勾股定理得，即可求出；（2）①当时，得到，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值；②当时，得到，得出以点、、为顶