河北省保定市高碑店市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含答案解析）

2024年河北省初中毕业生升学文化课摸底考试数学试卷注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时长120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，一个点在数轴上从原点开始先向右移动1个单位长度，再向左移动个单位长度后，该点所表示的数为，则的值是（）A. B.4 C. D.3【答案】B【解析】【分析】本题以数轴为背景考查了两点之间距离公式、解一元一次方程等知识，根据题意，数形结合，由数轴上两点之间距离的表示方法列式求解即可得到答案，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键．【详解】解：根据题意可知，，∴，故选：B．2.如图，在纸片上有线段和线段外一点，将纸片沿过点的直线折叠，使线段分成两部分并落在同一条直线上，下列说法正确的是（）A.折痕平分线段 B.折痕与线段互相平行C.折痕与线段互相垂直 D.折痕与线段不能相交【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线之间的位置关系，结合选项逐项验证即可得到答案，读懂题意，数形结合，利用几何直观、空间观念求解是解决问题的关键．【详解】解：A、将纸片沿过点的直线折叠，当折痕平分线段时，如图所示：由折叠性质可知，与重合，不符合题意；B、将纸片沿过点的直线折叠，当折痕与线段互相平行时，如图所示：由折叠性质可知，与重合，不符合题意；C、将纸片沿过点的直线折叠，当折痕与线段互相垂直时，如图所示：由折叠性质可知，与重合、与重合，符合题意；D、将纸片沿过点的直线折叠，当折痕与线段不能相交时，不妨假设折痕与线段互相平行，如图所示：由折叠性质可知，与重合，不符合题意；综上所述，折痕与线段互相垂直时，满足题意，故选：C．3.与相等的数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查科学记数法表示极小数与小数之间关系的转换，结合科学记数法表示数的定义还原得到即可得到答案，熟记科学记数法表示极小数与小数之间的转换是解决问题的关键．【详解】解：，故选：A．4.如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（）A.点 B.点 C.点 D.点【答案】D【解析】【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键．【详解】解：如图所示：点为位似中心，故选：D．5.若，则的值为（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查整式的乘除法及幂的运算，考查运算能力．先对整式进行化简，再代入求解即可．【详解】解：．故选：A．6.一款可折叠马扎如图所示，凳腿部分的，凳面的最大宽度，下列数据：①；②；③；④．其中可以作为长度的是（）A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②④【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据题意，由三角形三边关系可得，结合题意求解即可得到答案，熟练掌握三角形三边关系是解决问题的关键．【详解】解：∵，∴由三角形三边关系可得，即，∴，则①；②；③；④数据中②④符合条件，故选：B．7.下列各式化简后，结果为1的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查分式的运算，考查学生的运算能力．根据分式的加减乘除运算法则计算即可判断．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，符合题意；D、．不符合题意；故选：C．8.分割并裁剪硬纸板得到如图所示的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形，便可折成一个正方体，剪掉的小正方形不可能是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】【分析】本题考查由展开图折叠成正方体，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐个减掉验证即可得到答案，熟记正方体的平面展开图，借助几何直观和空间观念还原成立体图形是解决问题的关键．【详解】解：由题意知，去掉小正方形①，如图所示：可折成一个正方体，不符合题意；去掉小正方形②，如图所示：可折成一个正方体，不符合题意；去掉小正方形③，如图所示：不能折成一个正方体，符合题意；去掉小正方形④，如图所示：可折成一个正方体，不符合题意；综上所述，去掉①或②或④，均能折叠成一个正方体，去掉小正方形③，不能折叠成一个正方体，故选：C．9.无理数满足，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、无理数及无理数的估算等知识，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．首先确定的取值范围，然后根据无理数的概念和无理数的估算方法，即可获得答案．【详解】解：∵，∴，∵为有理数，又∵，，而，即，∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．故选：C．10.根据下面的对话，算出小亮今年的年龄为（）A.8岁 B.6岁 C.10岁 D.7岁【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，根据题意列出方程并求解，即可获得答案．【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，则，解得，即小亮今年的年龄为8岁．故选：A．11.在中，．尺规作图要求：Ⅰ．作边的平行线；Ⅱ．作线段的垂直平分线；Ⅲ．作顶角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图痕迹：其中配对正确的是（）A.①—Ⅲ，②—Ⅱ，③—Ⅰ B.①—Ⅰ，②—Ⅲ，③—ⅡC.①—Ⅱ，②—Ⅰ，③—Ⅲ D.①—Ⅲ，②—Ⅰ，③—Ⅱ【答案】D【解析】【分析】本题考查等腰三角形的三线合一、尺规作角平分线、线段的垂直平分线、作平行线等知识，根据等腰三角形性质、基本尺规作图方法逐个验证即可得到答案，熟练掌握尺规作角平分线、线段的垂直平分线、作平行线的方法是解决问题的关键．【详解】解：以为直径画圆，∵等腰三角形的底角一定是锐角，则圆与有两个交点，据直径所对的圆周角为直角，可作得底边上的高，即顶角的平分线，∴①—Ⅲ；根据②的作图痕迹可知，是作边的平行线，故②—Ⅰ；根据③的作图痕迹可知，是作线段的垂直平分线，故③—Ⅱ；故选：D．12.在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（）A.没有实数根 B.无法判断根的情况C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查用判别式法判断一元二次方程的根，由一元二次方程根的判别式求出，代入原方程，再利用判别式判定即可得到答案，熟练掌握用判别式法判断一元二次方程的根的情况是解决问题的关键．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴，解得，∴原方程为，，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：D．13.如图，已知点P，Q分别是四边形的边上的点，有如下条件：①；②；③；④四边形是平行四边形．则根据已知及下列条件的组合不能得到四边形是平行四边形的是（）A①和④ B.①和③ C.②和③ D.②和④【答案】B【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，需要学生根据不同条件的组合进行判断，考查推理能力、几何直观．根据平行四边形的判定进行证明即可．【详解】解：添加的条件为①和④，证明如下；∵四边形是平行四边形，∵，．∵，∴，即．又，∴四边形是平行四边形．故A不符合题意；添加条件为①和③，不能证明四边形是平行四边形；故B选项符合题意；添加的条件为②和③，证明如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．故选项C不符合题意，添加的条件为②和④，证明如下：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵．∴，∴，∴四边形是平行四边形．故选项D不符合题意，故选：B．14.为了解佳佳“1分钟跳绳”成绩的稳定情况，统计了佳佳6次的跳绳成绩（满分10分），并代入方差公式，得，下列判断正确的是（）A.平均数与众数相等 B.平均数与中位数相等C.众数与中位数相等 D.平均数、中位数、众数互不相等【答案】B【解析】【分析】本题考查方差公式及平均数、中位数和众数的概念，考查数据观念、推理能力和运算能力．根据方差公式写出六次成绩，从而求出平均数及中位数、众数，即可解决问题．【详解】解：根据公式可知6次的跳绳成绩为5，6，6，8，8，9，求得平均数为7分，众数为6分和8分，中位数为7分，故选：B．15.如图，过三角形纸片的一组邻边上的两点（不包括顶点）剪去一角，得到一个四边形，设剪去的这个角为，图中的，则与的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数关系及其图象，三角形的外角的性质，根据题意得出，进而即可求解．【详解】由题意可知，∴，∴该函数的图象大致为C选项中函数的图象．故选C．16.如图，以正六边形中的线段为斜边作等腰直角三角形，和分别交于点Q．已知，有下列结论：结论一：；结论二：．下列判断正确的是（）A.只有结论一正确 B.只有结论二正确C.结论一、结论二都正确 D.结论一、结论二都不正确【答案】B【解析】【分析】本题是正六边形和等腰直角三角形的综合题，考查正六边形的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，考查推理能力、几何直观和空间观念，综合运用这些知识点是解题关键．根据正六边形的性质及等腰三角形的性质即可判断结论一；连接交于点O，连接交于点H．利用正六边形的性质及等边三角形额判定和性质、解三角形的应用求解即可判断结论二．【详解】解：在正六边形中，．在等腰直角中，，∴，故结论一不正确．如图，连接交于点O，连接交于点H．在正六边形中，，，分别平分，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴．在等腰直角三角形中，，．∵，∴，，∴．∵，∴，∵，∴．∵，，∴．∵，∴．故结论二正确．故选B．二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共10分）17.，则（）里的整式为___________．【答案】##【解析】【命题立意】本题考查整式的除法，根据整式的除法法则直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，故答案为：．18.一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．（1）当时，___________°；（2）点到的距离为___________．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、矩形性质及解直角三角形等知识，（1）当时，过作，如图所示，根据平行线性质找到角的和差关系，列式求解即可得到答案；（2）过点作于点，过点作于点，如图所示，根据矩形性质，再根据三角形内角和定理求出，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握平行线性质及解直角三角形方法是解决问题的关键．【详解】解：（1）当时，过作，如图所示：，，∴，故答案为：；（2）过点作于点，过点作于点，如图所示：在矩形中，，∵，∴，∴．故答案为：19.如图，在中，点，点，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，与折线交于点．（1）___________；（2）若夹在，之间整数点（横、纵坐标均为整数的点）有7个（包括边界），则的取值范围为_________．【答案】①.12②.【解析】【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、点的平移、待定系数法确定函数关系式、的几何意义，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键．（1）根据题意，利用点的平移得到，待定系数法确定函数关系式即可得到；（2）根据题意，作出图形，分析出边界整点坐标，代入解析式求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵，点，∴将点向右平移3个单位长度得到点，将点代入中，得；（2）中的整数点如图所示：将点代入，得；将点代入，得；若夹在，之间的整数点有7个（包括边界），则的取值范围为，故答案为：（1）12；（2）．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.设三个有理数2，，的和为W．（1）当时，求W的值；（2）若W不大于，求a的负整数解．【答案】（1）（2），，【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算及解不等式，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）根据题意直接列式计算即可；（2）根据题意列出式子，然后求解不等式即可．【小问1详解】解：当时，．【小问2详解】∵，当W不大于时，．解得．a的负整数解有，，．21.阅读与观察：；；；……（1）按照上面的规律填空：①写出第四个算式：；②．（2）将上面的规律用含（为整数且）的等式表示，并说明其结果为偶数．【答案】（1）①；②（2），说明见解析【解析】【分析】本题考查找规律，涉及整式的运算知识，观察已知式子，根据式子的结构特征，找准变化与不变的量得到规律即可得到答案，由已知规律总结出规律是解决问题的关键．（1）根据题中所给式子，找到规律求解即可得到答案；（2）根据（1）中求解过程得到式子规律为，再由偶数性质求解即可得证．【小问1详解】解：由；；；①第四个算式：；从而得到上面式子的规律：，②；故答案为：①；②；【小问2详解】解：由（1）的求解过程可知，式子规律为：，∵n为整数且，是两个连续的自然数，必有一个为偶数，∴为偶数．22.微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．（1）求爸爸抢到红包的概率；（2）利用画树状图法或列表法求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查随机事件的概率及列表或画树状图的方法求概率，涉及一步概率问题解法、两步概率问题解法及简单概率公式等知识，读懂题意，弄清楚不同概率问题的解法，灵魂运用列举法及简单概率公式求解是解决问题的关键．（1）根据一步概率问题的解法，直接利用简单概率公式求解即可得到答案；（2）根据题意，画出树状图，得到三人抢三个红包共有6种等可能结果，其中妈妈抢到红包，同时小李抢到红包有一种结果，运用简单概率公式代值求解即可得到答案．【小问1详解】解：三个随机红包记为，爸爸抢到红包A的概率为；【小问2详解】解：三人抢三个红包，画树状图如下：∴三人抢三个红包共有6种等可能结果，其中妈妈抢到红包，同时小李抢到红包有一种结果，∴妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率．23.小李使用电脑软件通过光点运动模拟弹力球的抛物运动，如图，弹力球从轴上的点处抛出，其经过的路径是抛物线的一部分，并在点处达到最高点，在轴上的点处被弹起，向右继续沿抛物线运动，抛物线与抛物线的形状相同，且其达到的最大高度为1．（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标．（2）在轴上有一个矩形框，光点只可通过矩形框的边落入框内，已知，，点．请判断光点是否会落入矩形框中，若能，请说明理由；若不能，为使光点落入框内（包括点），可以移动矩形框，请直接写出移动后的点的横坐标的取值范围．【答案】（1），点的坐标为（2）不能，【解析】【分析】本题以电脑模拟弹力球运动为背景，考查待定系数法求二次函数的解析式、图象和性质、方程思想、数形结合思想，读懂题意，数形结合，灵活运用推理能力、几何直观求解即可得到答案．（1）利用待定系数法确定函数解析式，再由抛物线的对称性求出点的坐标即可得到答案；（2）利用待定系数法确定函数解析式，当时，求出函数值即可判断；为使光点落入框内（包括点），将矩形框向左移动，设点，得到点，，根据题意，分两种情况：当刚好在抛物线上时；当刚好在抛物线上时；列方程求解即可得到答案．【小问1详解】解：∵抛物线在点处达到最高，设抛物线的函数表达式为，将点代入得，解得，∴抛物线的函数表达式为，∵对称轴为直线，点与关于直线对称，∴点的坐标为；【小问2详解】解：∵抛物线与抛物线形状相同且抛物线的最大高度为1，∴设抛物线的函数表达式为，将点代入得，解得（舍去），，∴抛物线的函数表达式为；当时，，则光点打在上，并不能落入矩形框里；为使光点落入框内（包括点），将矩形框向左移动，设点，则点，，当刚好在抛物线上时，，解得（舍去），，当刚好在抛物线上时，，解得（舍去），，综上所述，点横坐标的取值范围为．24.如图，在等边中，，是边上的中线，点从点移动到点，连接，以为边长，在的上方作等边．（1）如图1，若，求证：与互相垂直平分；（2）如图2，当时，求点到的距离；（3）直接写出点经过路径长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，如图所示，利用等边三角形性质，借助菱形的判定与性质即可得到答案；（2）过点作于点，如图所示，利用等边三角形性质，借助全等三角形判定得到，利用全等三角形性质，运用勾股定理求解即可得到答案；（3）由（2）的求解过程得到垂直平分，进而分析出点经过的路径为一条线段，起点为点重合时点的位置，终点为的中点，如图所示，借助等边三角形性质及勾股定理求解即可得到答案．【小问1详解】证明：连接，如图所示：在等边中，，是边上的中线，∴．当时，．在等边中，，，∴，∴，∴．又，∴四边形为菱形，∴与互相垂直平分；【小问2详解】解：过点作于点，如图所示：在等边中，，．在等边中，，，∴，∴，即．在和中，，∴，∴，即，∴点到的距离为；【小问3详解】解：由（2）可知，点在线段上的任意位置都有，且，点总在上，即垂直平分，∴点经过的路径为一条线段，起点为点重合时点的位置，终点为的中点，如图所示：在等边中，点重合时，，此时由等边三角形三线合一性得，∴点经过的路径长为．【点睛】本题考查等边三角形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形及菱形相关性质与判定，借助推理能力、几何直观、空间观念及创新性分析和解决问题的能力灵活求解是解决问题的关键．25.如图，点A从点开始以每秒个单位长度的速度在射线上向右匀速运动，同时点从点出发，向右上方运动，并在点C处与点A重合，重合后，点A运动方式不变，点B沿线段：向右下方运动，并在点处，改变运动方向沿线段：向右上方运动，直到当点B到达点E时，两个点同时停止运动．在运动过程中，点B与点A的横坐标总保持相等，设运动时间为t秒．（1）当点A，B重合于点C时，求t的值．（2）求段所在直线的函数表达式，并求时点B的坐标；（3）直接写出A，B之间的距离不超过3时t的取值范围．【答案】（1）（2），点B的坐标为（3）或【解析】【分析】（1）由点C的纵坐标为6可得当点到达点C时，点B的坐标为，再根据点B与点A的横坐标总保持相等，即可得到，求解即可；（2）把点，点代入：中，求解即可得到段所在直线的函数表达式．当时，点B在上，此时点A，B的横坐标为，把代入，求解即可得到点B的坐标；（3）当A，B之间的距离不超过3时，则点B的纵坐标应满足，分三种情况讨论：①当点B在上；②当点B在上；③当点B在上，即可解答．【小问1详解】∵，∴点C的纵坐标为6，当点到达点C时，，解得，此时，∵点A从点开始以每秒个单位长度的速度在射线上向右匀速运动，∴点A的横坐标为∵点B与点A的横坐标总保持相等，∴，解得即当点A，B重合于点C时，．【小问2详解】由（1）得，将点，点代入：，得，解得，∴段所在直线的函数表达式为．当点B运动到点D时，点A，B运动过的时间为，∴当时，点B在上，此时点A，B的横坐标为．将代入，得，∴当时点B的坐标为．【小问3详解】当A，B之间的距离不超过3时，则点B的纵坐标应满足，①当点B在上时，，解得，∵点B与点A的横坐标总保持相等，∴，∴；②当点B在上时，由（2）可知，当时点B的纵坐标为3，∴．③当点B上时，∵点：上，则，则，∴线段：．当时，，解得，∵点B与点A的横坐标总保持相等，∴，∴．综上所述，或．【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数的图象及性质，考查推理能力、运算能力、几何直观及综合运用数