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文档简介
玻色分布和费米分布12一、玻色分布玻色系统(N>>1,nm>>1,ωm>>1)玻色分布和费米分布32.玻色系统
N个粒子不可分辨,可认为是量子全同粒子,且每个个体量子态容纳的粒子数不受限制。
能级εm非简并。由于粒子不可分辨,在任一能级上nm个粒子的分布只有一种方式。
能级εm简并。简并度为ωm,nm个粒子在ωm个不同量子态上的分布方式就象nm个相同的球在ωm个盒子中的分布一样。4计算nm个粒子占据
m上
m个量子态的可能方式。用小格代表量子态,用小圆圈代表微观粒子,将最左方固定为量子态1。小方格和小圆圈的可能组合数(nm+
m
-1)!。由于粒子的不可分辨,扣除粒子之间的相互交换数nm!,和量子态之间的相互交换数(
m
-1)!5能级εm的微观状态数为:各能级的结果相乘,得玻色系统与分布{nm}相应的微观状态数为:
(Bose-Einstein)6费米系统
N个粒子不可分辨,每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。
nm
个粒子占据εm上的ωm个量子态,相当于从ωm个量子态中挑选nm个来为粒子所占据(ωm≥nm
),共有可能方式。各能级的结果相乘,得费米系统与分布{nm}相应的微观状态数为:(Fermi-Dirac)7
经典极限条件
如在玻色系统和费米系统中,任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数,即称经典极限条件(也称非简并条件),即在所有能级上,粒子数都远小于量子态数。意味着,平均而言,处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。8在满足经典极限条件下,由于每个量子态上的粒子数远小于1,粒子间的关联可忽略,全同性的影响只表现在因子1/N!上。9经典统计中的分布和微观状态数
系统在某一时刻的运动状态用N个粒子的坐标(qi1,qi2,…,qir)和动量(pi1,pi2,…,pir)确定,相应于
d空间的N个点。为计算微观状态数,将qi和pi分为大小相等的小间隔,使,对于具有r个自由度的粒子,
相应于
d空间中的一个相格。
假使h0足够小,就可以由粒子运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态。处在同一相格的代表点,代表相同的运动状态。
10将
d空间划分为许多体积元
(m=1,2,…)
,以表示运动状态处在的粒子所具有的能量,N个粒子处在各的分布可描述如下:
体积元简并度能量粒子数经典统计中与分布{nm}
对应的微观状态数,参照玻尔兹曼系统得11最可几分布
微观状态数出现最多(概率最大)的分布,是最具代表性的分布。根据等几率原理,微观状态数最多的分布出现的几率最大。最可几分布的两个重要特点:
1.当粒子数目很大时,其它分布中的微观状态数与之相比可以忽略;
2.最可几分布中的任一微观状态出现的几率最小,且随体系粒子数目的增多而进一步减小。
12玻尔兹曼分布M-B系统中最可几分布,称玻尔兹曼分布。斯特令公式:lnm!=m(lnm-1),(m>>1)M-B系统中的最可几分布是使ΩM.B为极大的分布。lnΩM.B随ΩM.B的变化是单调的,可等价讨论使lnΩM.B为极大的分布。13使lnM.B为极大的分布{nm}
,必使lnM.B=0注:这些nm不完全独立,它们满足一定条件。N>>1,考虑nm>>1,ωm>>1,利用斯特令公式14
、称拉格朗日未定乘子。麦克斯韦-玻尔兹曼分布15,,
、拉氏乘子、由下两式确定16能级
m有
m个量子态,处在其中任何一个量子态的平均粒子数是相同的。处在能量
s的量子态s上的平均粒子数fs,17思考题与习题1.经典和量子方法对粒子运动状态描述的区别。2.如何对系统微观运动状态进行描述。3.什么是等概率原理?4.玻尔兹曼、玻色和费米分布各自适合什么系统?在满足经典极限的情况下,三种分布的关系。P120,5.1、5.2、5.318能级是简并的,一个能级对应于若干个波函数。能级:
ε1,ε2,…εm,……
简并度:ω1,ω2,...ωm,……波函数:(ψ11,ψ12,…ψ1ω1),(ψ21,ψ22,…ψ2ω2)…(ψm1,ψm2,…ψmωm)…粒子数:n1,n2,…nm,……(m=1,2,3,…k)19
能级εm上的粒子
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