2.1.1 集合的含义与表示-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第2.1章2.1.1集合的含义与表示高中要求1了解集合的含义;,体会元素与集合的“属于”关系;2针对不同的具体问题，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）加以描述.1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.若集合A={1，2，a}，就意味a③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}3元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.

Eg：菱形4常用数集

自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗或N+；整数集，记作有理数集，记作Q；实数集，记作R. 5集合的分类有限集，无限集，空集∅.Eg：奇数集xx=2n+1,n∈Z属于无限集，x∈R6集合的表示方法①列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符号描述法表示集合时应注意：

集合元素化简结果{x|方程x2{−1,2}{x|不等式x2{x|−1<x<2}{x|y=函数y=x2−x−2中xR{y|y=函数y=x2−x−2中y{y|y>−{(x,y)|y=函数y=x2看集合先看元素类型.【题型1】集合元素的特征【典题1】下列说法正确的是()

A.数学成绩较好的同学组成一个集合；

B.所有小的正数组成的集合；

C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合；

解析由于“较好”、“小的”没有一个明确的标准，A,B的对象不具备确定性；D中的0.5,12,14集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.变式练习1.下列选项能组成集合的是()A．著名的运动健儿 B．英文26个字母C．非常接近0的数 D．勇敢的人答案B解析著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；故选B．2.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形答案D3.下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)12，3，sin30°，7解析(1)能，集合元素是直角三角形；(2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，集合元素是“16岁以下的学生”；(5)不能，sin30°=12【题型2】元素与集合的关系【典题1】已知集合A含有两个元素a−3和2a−1，若−3∈A，则实数a=．解析∵−3∈A，∴−3=a−3或−3=2a−1.若−3=a−3，则a=0，此时集合A含有两个元素−3，−1，符合题意．若−3=2a－1，则a=−1，此时集合A含有两个元素−4，−3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或−1.变式练习1.下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N∗；④A．1B．2C．3D．4答案B解析①②对，故选B.2.设不等式3−2x<0的解集为A．0∈M,2∈MB．0∉M答案B解析当x=0时，3−2x=3>0当x=2时，3−2x=−1<03.对于集合A={2,4,6}，若a∈A，则6−解析当a=2,4满足题意，当a=6时，4.已知非空集合M满足：若x∈M，则11−x∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于答案−1解析依题意，得当4∈M时，有11−4=−13∈M于是集合M的元素只有4，−13，34【题型3】集合的表示【典题1】用列举法表示下列集合(1)11以内偶数的集合；(2)方程(x(3)一次函数y=2x与解析(1){2,4,6,8,10}；(2)解方程(x+1)(x故方程(x+1)(x(3)解方程组&y=2x因此一次函数y=2x与y=x+1【典题2】设集合B=(1)试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B．解析(1)当x=1时，6当x=2时，62+2=(2)∵62+x∈N，x∴x只能取0，1，4，∴【典题3】若集合A={x|ax2−ax+1≤0}=∅A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4}解析当a=0时，不等式等价于1<0，此时不等式无解；当a≠0时，要使原不等式无解，应满足a>0即a>0a2−4a<0综上，a的取值范围是[0,4)．故选：B．变式练习1.集合P={x|x=2k,k∈Z}，M={x|x=2k+1,k∈Z}，S={x|x=4k+1,k∈Z}，a∈P，b∈M，设c=a+b，则有A．c∈PB．c∈MC．c∈SD．以上都不对答案B解析∵a∈P，b∈M，c=a+b，设a=2k1，k1∈Z，∴c=2k又k1+k2.已知集合A=t2+A．x+y∈A B．x−y∈A C．xy∈A D答案C解析∵集合A=t∴1∈A，2∈A,1+2=3∉A，故又∵1−2=−又∵12∉A，故D:“(为什么xy∈A？令x=txy=t3.集合A={x,xy,xy−1}，其中x∈Z，y∈Z且y≠0，若0∈A，则A中的元素之和为答案0解析因为0∈A，所以若x=0，则集合A={0,0,−1}不成立．所以若因为y≠0，所以xy≠0，所以必有xy−1=0，所以因为x∈Z，y∈Z，所以x=y=1或x=y=−若x=y=1，此时A={1,1,0}不成立，舍去．若x=y=−1，则所以元素之和为1−4.用列举法表示集合M={m|答案M={0,1,2,3,5,11}解析∵12m+1∈N,m∈Z5.设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：(1)对M中任意元素a,b,c都有(a#b)#c=a#(b#c)；(2)对M中任意两个元素a,b，满足a#b∈M．则称M对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为.{−2,−1,1,2}②{1,−1,0}答案②③④．解析(1)的意思是满足结合律，(2)的意思是两个元素运算后还属于原集合的.①中，当a=−1，当a=−2，故①中集合对加法和乘法都不封闭，②中集合M={1,−1,0}满足：(1)对M中任意元素a,b,c都有(2)对M中任意两个元素a,b，满足a+b∈M．故②中集合对加法运算封闭，同理可得对乘法运算也封闭；③中集合M=Z，整数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，整数加整数，整数乘以整数还是整数，满足第二点，故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭；④中集合M=Q，有理数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，有理数加有理数，有理数乘以有理数还是整数，满足第二点，故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭；故答案为：②③④6.用描述法表示下列集合：(1)大于－3且小于4的所有自然数组成的集合；(2)不等式x2(3)(阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合)答案(1)用描述法表示为{x(2)用描述法表示为{x(3)用描述法表示为{(x7.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一个元素，答案{解析∵集合A={∴a=0或a≠0△=4−4∴a的取值范围是{故答案为：{a1.下列各组对象能构成集合的是()A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4答案B解析选项A、C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：2.集合x−1,x2A.2B.3C.4D.5答案B解析根据集合元素的互异性，x−1≠x2−1≠23.已知集合A={x|2x+A．a>−4 B．a≤−2 C．−4<a答案D解析∵1∉A，2∈A，∴2×1+a≤04.已知集合A={A．0∈AB．1∈A C．−1∈A解析0,1,−1都不是x2−1>0的解，则0,1,−1∉A5.若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+y−4>0,x,y∈A}，A．9 B．6 C．4 D．3答案D解析通过列举，可知x,y∈A的数对共9对，即1,1,∵B={(x,y)|x+y−4>0,x,y∈A}∴易得(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y−4>0∴集合B中的元素个数共3个．故选：D．6.已知A={a−2,2a2+5a答案{−解析∵﹣3∈A，A∴a−2=−32a2故答案：{−37.已知含有三个实数的集合既可表示成a,ba,1，又可表示成a2答案−1解析根据题意，由{a,ba,1}={a2又由ba的意义，则a≠0，则{a,0,1}={a则有a2=1，即集合{a,0,1}中，a≠1，则a20178.试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2−x−2=0的解集；(2)大于解析(1)方程x2−x因此，用描述法表示为{x方程x2−x−2=0的根是(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且因此，用描述法表示为{x大于−1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．9.设集合A={m|m−2(1)试判断元素1,2与集合A的关系；(2)用列举法表示集合A.答案(1)1∉A；2∈A(2)A={2,5,8}解析(1)当m=1时，满足m∈N,m≤10，而1−23=−1当m=2时，满足m∈N,m≤10，且2−23=0∈N，故(2)根据题意，∵m∈N,m≤10，∴m−2≤8，且又因m−23∈N，∴(m−2)∈N，且是∴m−2