云南省丽江市玉龙县第一中学2024届高三第二次联考数学试卷含解析

云南省丽江市玉龙县第一中学2024届高三第二次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．02．已知是虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．103．已知向量，，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是A． B． C． D．5．设等比数列的前项和为，若，则的值为（）A． B． C． D．6．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（）A． B． C． D．7．“是函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸9．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A．2 B．3 C．4 D．110．为得到y=sin(2x-πA．向左平移π3个单位B．向左平移πC．向右平移π3个单位D．向右平移π11．函数（）的图象的大致形状是（）A． B． C． D．12．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．12 B． C． D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．14．若，，则___________．15．已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．16．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，点为边的中点，且，求的面积.18．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．19．（12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次数为．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．20．（12分）在锐角三角形中，角的对边分别为．已知成等差数列，成等比数列．（1）求的值；（2）若的面积为求的值．21．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．22．（10分）设函数.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意函数，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、C【解析】

根据复数模的性质计算即可.【详解】因为，所以，，故选：C【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.3、B【解析】

由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.【详解】解：由题意得，设与的夹角为，，由于向量夹角范围为：，∴.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.4、B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为，.故选B点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5、C【解析】

求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.6、D【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．7、C【解析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.8、B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.9、B【解析】

将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.10、D【解析】试题分析：因为，所以为得到y=sin(2x-π3)的图象，只需要将考点：三角函数的图像变换．11、C【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】故选C．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．12、C【解析】

取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=，故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．【详解】，，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．14、【解析】

因为，所以，又，所以，则，所以．15、【解析】

求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题16、等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得，即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案为等腰三角形，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2)为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.【详解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因为为的中线,所以,两边同时平方可得,故.因为,所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18、（1）证明见详解；（2）.【解析】

（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：在中，因为为的中点，，且，又为的中点，，，且，，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，即证.（2）取中点，连结，，则，平面，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，则，令．则，同理得平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.19、（1）见解析，（2）（i）见解析（ii）时平均检验次数最少，约为594次．【解析】

（1）由题意可得，的可能取值为和，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望.（2）（i）由记，根据函数的单调性即可证出；记，当且取最小值时，该方案最合理，对进行赋值即可求解.【详解】（1）由题，的可能取值为和，故的分布列为由记，因为，所以在上单调递增，故越小，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理记当且取最小值时，该方案最合理，因为，，所以时平均检验次数最少，约为次．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.20、（1）；（2）.【解析】

(1)根据成等差数列与三角形内角和可知,再利用两角和的正切公式,代入化简可得,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得,联立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得,再结合的面积为利用面积公式求解即可.【详解】解：成等差数列,可得而,即,展开化简得,因为,故①又成等比数列,可得,即,可得联立解得（负的舍去）,可得锐角；由可得,由为锐角,解得,因为为锐角,故可得,由正弦定理可得,又的面积为可得,解得．【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.21、(1)见证明；(2)【解析】

（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而，得证线面平行；（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．【详解】（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且，又且，且，∴EFGA是平行四边形，则，又面，面，面；（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面面，为正三角形，面，且，连交于，可得，，则，即．连，又，可得平面，则，即是二面角的平面角，在中，∴，即二面角的正切值为．【点睛】本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角