新人教版B版高中数学（选修2-3）1. 2. 1 排列

1.2.1排列

课标要求：

知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思

想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.

教学重点：排列、排列数的概念.

教学难点：排列数公式的推导.

授课类型：新授课.

课时安排：2课时.

教具：多媒体、实物投影仪.

内容分析：

分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确

要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下

进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完

成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才

算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的

地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再

分成儿步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师•定要先做出表率并要求学生

严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分

类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.

分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、

组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合

学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少

种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，

与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定

义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

教学过程：

一、复习引入：

1.分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有叫种

不同的方法，在第二类办法中有机2种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的

方法.那么完成这件事共有N=m、+，4+・一+加“种不同的方法.

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有叫种不同

的方法，做第二步有机2种不同的方法，……，做第n步有““种不同的方法，那么完成这

件事有N=町xm?X…xm”种不同的方法.

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问

题，区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立,每一种方法只

属于某一类，用其中任何•种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问

题，各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只

有各个步骤都完成才算做完这件事.应用两种原理解题：1.分清要完成的事情是什么；2.是分

类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制.

二、讲解新课：

1.问题：

问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学

参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动

在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排

法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素.

解决这一问题可分两个步骤:第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人,

有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下

午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法.根据分步乘法计数原理，在3

名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共

有3X2=6种，如图1.2—1所示.

上午下午相应的排法

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙

图1.2—1

把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素a,b

中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的

排歹U是ab,ac,ba,be,ca,cb,

共有3X2=6种.

问题2.从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个

不同的三位数？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有

4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数,

从余下的2个数中取，有2种方法.

由分步计数原理共有：4X3X2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列.山

此可写出所有的排法.

显然，从4个数字中，每次取出3个，按'‘百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得

到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来

解决这个问题：

第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种

方法；

第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个

数字中去取，有3种方法；

第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下

的2个数字中去取，有2种方法.

根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数

字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有

4X3X2=24

种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图1.2—2所示.

由此可写出所有的三位数:

123,124,132,134,142,143,

213,214,231,234,241,243,

312,314,321,324,341,342,

412,413,421,423,431,432o

同样，问题2可以归结为:

从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少

种不同的排列方法？

所有不同排列是

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,edb,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

共有4X3X2=24种.

树形图如下

2.排列的概念：

从〃个不同元素中，任取〃？（团《〃）个元素（这里的被取元素各不相同）按照;军

白口飒》排成一列，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的.•个排列.

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同.

3.排列数的定义：

从〃个不同元素中，任取〃？（机个元素的所有排列的个数叫做从〃个元素中取

出m元素的排列数，用符号A：表示.

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从〃个不同元素中，任取加个元素

按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素中，任取加（m<n）

个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号4"只表示排列数，而不表示具体的排列.

4.排列数公式及其推导：

由用的意义：假定有排好顺序的2个空位，从〃个元素q,电,…勺中任取2个元素去

填空，•个空位填•个元素，每一种填法就得到个排列，反过来，任•个排列总可以由这

样的•种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A：.由分步计数原理完成上

述填空共有〃5-1)种填法，=〃(〃-1).

由此,求方可以按依次填3个空位来考虑，.=〃(〃-1)(〃-2),

求A：以按依次填m个空位来考虑A：=n(n-1)(M-2)…(〃一机+1),

排列数公式：

第1位第2位第3位第m位

A'"=n(n-l)(n-2)・・•(〃一加+1)

ft1!

nn-1n-2

(m,neN*,m<n)fflio-s

说明：(1)公式特征：第一个因数是〃，后面每一个因数比它前面一个

少1,最后一个因数是+1,共有机个因数；

(2)全排列：当〃=〃?时即〃个不同元素全部取出的一个排列.

全排列数：A；；=n(n-l)(n-2)---2-l=n!(叫做n的阶乘).

另外，我们规定0!=1.

例1.用计算器计算:(1)心(2)心(3)A：；十心

解：用计算器可得：

(1)10|SHIFT|国4=5040J

C2)18|SHIFT|逼］5=1028160；

(3)18ISHIFTl画18臼13ISHIFlI画13=1028160.

山(2)(3)我们看到，那么，这个结果有没有一般性呢？即

A，，，.d=加

"4鬻(«-/«)!'

排列数的另一个计算公式：

A：=n(n-1)(〃一2)・•・(〃一团+1)

_n(n-l)(n-2)•••(n-m+l)(n-zn)•••3•2-1_n\A：

(n-nt)(n-m-1)•••3•21(n-m)!A：］：：

〃(n-m)!

例2.解方程：3A；=2A*+6A：.

解：由排列数公式得：3x(x-1)(%-2)=2(x+l)x+6x(x-1),

x>3,/.3(x-l)(x—2)=2(x+l)+6(x-l),即—17x+10=0,

2

解得x=5或x=—,且XEN",・••原方程的解为x=5.

3

例3.解不等式：缉>6第

9'9'

解:原不等式即——>6•——

(9-x)!(U-x)!

也就是------->------------------------化简得：X2-21X+104>0,

(9一x)!(ll-x)-(10-x)-(9-x)!

解得x<8或x>13,又•.,24x《9,且xeN*,

所以,原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.

例4.求证：(1)A：=A.AM；(2)署;=1-3,5…(2〃—1).

证明：⑴A：・A：S===二原式成立.

(n—m)!

(2〃)！_2n-(2n-l)-(2n-2)---4-3-2-l

')2"-n!=2"-nl

2"“«—1)…21(2〃—1)(2”—3)…3/

T-n\

二加4-3…(2〃―3)(2“―1)=]3不(2“_i)=右边

n\

，原式成立.

说明：(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A："中，加,〃eN*且〃?4〃这

些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；

(2)公式=〃(〃—1)(〃—2)…(〃—加+1)常用来求值，特别是机，〃均为已知时，公

式二一n^।,常用来证明或化简.

(n-m)!

-।i\/fefc123n—1

例5.化简：(1)---1----1----F…-I-；--(-2)-1x1!+2x2!+3x3!+•••4-7：xn!.

2!3!4!n\

-----------=1一

(2)提示：山+=+=得〃X〃！=(〃+1)!-〃！，

原式=(〃+l)!—1.

n\(n-1)!«!

例7.（课本例2）.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各

队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元

素的一个排列.因此，比赛的总场次是=14X13=182.

例8.（课本例3）.（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有

多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取

3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是

闺=5X4X3=60.

（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送

给3名同学每人各1本书的不同方法种数是

5X5X5=125.

例8中两个问题的区别在于：（1）是从5本不同的书中选出3本分送3名同学,

各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（2）中，由于不同的人得到的书可能相同，

因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算.

例9.（课本例4）.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分

析：在本问题的。到9这10个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意

位置上，因此。是一个特殊的元素.一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问

题

解法1:由于在没有重复数字的三位数中，百位上

的数字不能是0,因此可以分两步完成排列.第1步，排百位十位个佟

百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，；

有4种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从人；个'延'

余下的9个数字中任选2个，有另种选法（图1.2一"......’.........’

5）.根据分步乘法计数原理，所求的三位数有

4•蜀=9X9X8=648（个）.

解法2:如图1.2—6所示，符合条件的三位数可分成3类.每一位数字都不是位

数有A母个，个位数字是0的三位数有揭个，十位数字是0的三位数有揭个.根据分类

加法计数原理，符合条件的三位数有

用+蜀+寓=648个.

解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A1,其中0在百位上的

排列数是反，它们的差就是用这10个数字组成的没有重夏数字的三位数的个数，即所求的

三位数的个数是

维-用=10X9X8-9X8=648.

对于例9这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以

有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是。的要求，分步完成选3个数组成没有重

复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法2以0是否出现以及出现的位

置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法3是一种逆向思考方法:

先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即

不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过程可以看

到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同

元素中取出m（mWn）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题.

L1节中的例9是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？

四、课堂练习：

〃！

1.若x=—，则x=（）

3!

(A)A；(5)A：-(C)与（。）A"

2.与端不等的是（）

(A)A[(8)81用(C)10瑞（。）Ao

3.若A：=2A：,则m的值为()

(A)5(B)3(C)6(。)7

，“僧2&+3尺(/n-1)!

•V\二十•X_____*

9!-Ao端•（，"-〃）！

5.若2<Q"(?!442,则机的解集是

6.(1)已知A；=10x9x・・・x5,那么机=_；

(2)已知9!=362880,那么q=_；

(3)已知=56,那么〃=；

(4)已知看=7反_4,那么〃=.

7.一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔

道只能停放1列火车)？

8.一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？

答案：1.B2.B3.A4.1,15.{2,3,4,5,6}

6.(1)6(2)181440(3)8(4)57.16808.24.

巩固练习：书本20页1,2,3,4,5,6

课外作业：第27页习题1.2A组1,2,3,4,5

教学反思：

排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与

位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相

同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同.了解排列数的意义，掌

握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过

来剔”.前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选

出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方

法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

补充例题

例1.(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同

的送法？

(2)有.5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素

的一个排列，因此不同送法的种数是：£=5x4x3=60,所以，共有60种不同的送法.

(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给

3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5x5x5=125,所以，共有125种不同的送

法.

说明：本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学,

各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同

的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算.

例2.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任

意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A；种；

第二类用2面旗表示的信号有&种；

第三类用3面旗表示的信号有A；种，

由分类计数原理，所求的信号种数是：++=3+3x2+3x2x1=15,

答：一共可以表示15种不同的信号.

例3.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有

一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车

上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有种方法；

第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有种方法,

利用分步计数原理即得分配方案的种数.

解：由分步计数原理，分配方案共有N==576(种)

答：共有576种不同的分配方案.

例4.用。到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解法1：用分步计数原理：

百位

所求的三位数的个数是：«•蜀=9x9x8=648.

解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不

是0的三位数有"个，个位数字是0的三位

数有局个，十位数字是0的三位数有蜀

个，

由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：用+蜀+蜀=648.

解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A*,其中以0为排头的排列

数为国，因此符合条件的三位数的个数是端-蜀=648-蜀.

说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法.直接法：通过对问题进行

恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1,2；间接法：对于有限制条件的

排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件

的情况种数如解法3.对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防

止重复与遗漏.

例5.(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列A；=5040.

（2）7位同学站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040.

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A：=720.

（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；

第二步余下的5名同学进行全排列有用种，所以，共有=240种排列方法.

（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排

尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以

一共有A；=2400种排列方法.

解法2：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在

排头且乙站在排尾则有用种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有用

-2A；+A：=2400种.

说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素

可以优先考虑

例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定

不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法'：（从特殊位置考虑）AX=136080；

解法二：（从特殊元素考虑）若选：5-A；；若不选：A；,

则共有5-&+W=136080种;

解法三：（间接法）A*-用=136080.

例7.7位同学站成一排，

（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起

进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A；种方法.所以这样的

排法一共有•用=1440种.

（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

解：方法同上，一共有A；=720种.

（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙

不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种

方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排

列有种方法.所以这样的排法一共有A；A：=960种方法.

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站

在排头或排尾有2种方法，

所以，丙不能站在排头和排尾的排法有=960种方法.

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此忖一共有6个元素，因为丙

不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A：种方法，再将其余的5个元

素进行全排列共有"种方法，最后将甲、乙两同学'‘松绑"，所以，这样的排法一共有

A：&=960种方法.

（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起.

解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人''捆绑”在一起

看成一个元素，时一共有2个元素，.♦.一共有排法种数：A；A：A；=288（种）

说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）.

例8.7位同学站成…排，

（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

解法一：（排除法）A；-=3600；

解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A；种方法，此时他们留下六个位置（就称

为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A；种方法，所以一共有

用=3600种方法.

（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三

个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有4；=1440种.

说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）.

例9.5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定

顺序排列.

解：（1）先将男生排好，有父种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包

括两端）中，有2A；种排法.

故本题的排法有N=2A>A；=28800（种）；

410

（2）方法1：N=T=%）=30240；

6

方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有种排法；余下

的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法.

故本题的结论为％=4%*1=30240（种）

2007年高考题

1.（2007年天津卷）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂

色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格—r1

子颜色不同，则不同的涂色方法共有—390_种（用数字作答）.［（

2.（2007年江苏卷）某校开设9门课程供学生选修，其中A,8,C三门由于上课时间相同，

至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有75种不同选修方案。（用数值作答）

3.（2007年北京卷）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2

位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（