空间向量与立体几何目标检测设计

空间向量与例题几何目标检测设计一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知一直线经过点A(2,3,2)，B(-1,0,5)，下列向量中不是该直线的方向向量的为(

)A.a=(1,1,1) B.a=(-1,-1,1) C.a=(-3,-3,3)已知向量a=(2,  -1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则xA.-1 B.1或-1   C.-3     D.1已知平面α的法向量为u=(x,1,-2)，平面β的法向量为v=(-1,y,12)，若α//βA.154 B.174 C.3 设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a⊥n”是“l//α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则(

)A.AB与AC是共线向量 B.AB的单位向量是255,-55,0

C.AB与BC夹角的余弦值是55平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是(

)A.(1,0,1) B.(1,0,-1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1→=A.12a+12b+12二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(

)A.若两条不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别是a=(2,-2,-1)，b=(-2,-2,1)，则l 1//l 2

B.若直线l的方向向量是a=(1,1,2)，平面α的法向量是n=(-2,-2,-4)，则l⊥α

C.若直线l的方向向量是a=(0,2,0)，平面α的法向量是n=(-2,0,2)，则l三、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题12.0分)如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD // BC，∠ABC=90∘，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、E、F分别为线段A1C1、AB(1)DE//平面B(2)EF⊥平面B1(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5(1)求证：AC⊥BC(2)在线段AB上是否存在点D，使得AC答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了立体几何中的直线的方向向量，属于基础题．

已知直线的一个方向向量为AB，而与AB共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量，由此即可得到答案．【解答】解：由题知，AB=(-3,-3,3)，

则与向量AB共线的非零向量均为该直线的方向向量，

只有A不符合，

故选A．

2.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的方向向量，考查分析与计算能力，属于基础题．

由题得a//b，即可得2-4【解答】解：∵向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，

则a//b，

即

3.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查面面垂直的向量表示形式，属于基础题．【解答】解：∵平面α的法向量u=(x,1,-2)，

平面β的法向量v=(-1,y,12)，α//β，

∴u=λv，即x=-λ1=λy-2=12λ，

4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查平面法向量的概念，直线与平面平行与充要条件的判断，属于基础题．【解答】解：由l // α，得a⊥n，则“a⊥n”是“l // α”的必要条件；由a⊥n，得l // α或l⊂α，则“a⊥n”不是“

5.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查空间向量共线的判断，考查单位向量和向量的数量积运算，考查平面的法向量的求解，属于中档题．

可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可．

【解答】解：

AB=(2,1,0)，

AC=(-1,2,1)，

AB

≠

λ

AC，所以

AB与

AC不共线，所以A错误;

AB的单位向量为(

255，

55，0)或(-

255，-

55，0)，所以B错误;

BC=(-3,1,1)，所以

cos<AB→,BC→>=AB→⋅BC→|AB→||BC→|=-

6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量等基础知识，是基础题．

设平面α的法向量n=(x,y,z)，由n⋅OA【解答】解：∵平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，

∴OA=(2,2,0)，OB=(0,0,2)，

设平面α的法向量n=(x,y,z)，

则n⋅OA=2x+2y=0n⋅OB=2z=0,

取x=-1，得

7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查求直线的方向向量，考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．

由题得四边形B1BDD1是平行四边形，【解答】解：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，

∴B1B//D1D且B1B=D1D，

∴四边形B1BDD1是平行四边形，

8.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查空间向量的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

对于A，2-2≠-2-2，∴l1与l2不平行；对于B，n=-2a，从而l⊥α；对于C，a⋅n=0，从而【解答】解：对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,-2,-1),b=(-2,-2,1)，

∵2-2≠-2-2，∴l1与l2不平行，故A错误；

对于B，直线l的方向向量是a=(1,1,2)，平面α的法向量是n=(-2,-2,-4)，

∵n=-2a，∴n//a，∴l⊥α，故B正确；

对于C，直线l的方向向量是a=(0,2,0)，平面α的法向量是n=(-2,0,2)，

∵a⋅n=0，

9.【答案】解：以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12,0,0)(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS=(0,0,1)是平面(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA=A，AB，SA⊂平面SAB，

∴AD⊥平面SAB，∴AD=(1(3)在平面SCD中，DC=(12设平面SCD的法向量是n=(x,y,z)，

则n⊥DC→，得方程组1令y=-1，则z=1，x=2，

∴n所以n=(2,-1,1)是平面SCD

【解析】本题考查了平面的法向量的求法，属于较难题．以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：(1)由法向量的定义可知，AS是平面ABCD的一个法向量；(2)可证AD⊥平面SAB，所以AD是平面SAB的一个法向量；(3)设平面SCD的法向量是n=(x,y,z)，根据n⊥DC10.【答案】解：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，设A1则A(2,0,0)，C(0,0,0)，B1(0,2,2)，D(1,0,2)，E(1,1,0)，所以CA=(2,0,0)，DE=(0,1,-2)，EF=(1,-1,1)，C(1)显然CA=(2,0,0)是平面BC因为DE⋅所以DE⊥CA.因为DE⊄平面BCC所以DE//平面BCC(2)设平面B1CE的法向量为则n令z=-1，则y=1，x=-1，

即n=(-1,1,-1)显然EF//n，所以EF⊥平面

【解析】本题主要考察线面平行及线面垂直的判断定理，属于中档题．

11.【答案】.(1)【证明】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，∴由勾股定理知AC⊥BC，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则C(0,0,0