第3章-应变分析

Chapter3应变分析

3-1、位移与变形

1、位移：物体内各点位置的改变

位移矢量一般记为即位移分量：在坐标轴上的三个分量（3-1）2、变形：物体内部各部之间产生的相对运动。即不含刚体位移的位移。xyz3、位移和变形的关系：位移变形刚体位移刚体平移刚体转动线变形角变形*物体内各点之间不产生相对位移*物体内各点之间产生相对位移4、约定：弹塑性力学分析中不考虑物体的刚体位移3-2、一点的应变状态：1．问题的提出：位移不能反映物体内一点处变形的强烈程度。如铁丝受拉：一米原长，伸长量5cm，单位伸长0.05；30cm原长，伸长量3cm，单位伸长0.1．变形大，不一定变形厉害。应变就是用来表示变形的程度2．线应变和角应变（正应变和切应变）物体受力发生变形，若从物体中任取一微元体，其变形有两种形式：一是微元体线段（边）的伸长或缩短，一是微元体夹角的增大或减小。前者定义为线应变，也叫正应变。后者定义为切应变。(i)

线应变：物体内一点P(x,y,z)在方向上的线应变：变形前在P点处沿方向所取的微线段：变形后Δr的增量规定>0>0为正

<0<0为负

(ii)

切应变：物体内一点P(x,y,z)的两垂直方向和方向之间的角度变化量，称之为和方向的切应变。变形后、两垂直方向间角度的变化量则：变形后x、y两垂直方向间夹角的变化量。规定：两轴正向间的夹角减小为正，夹角增大为负。NP(x,y,z)

3、一点的应变状态：

(i)一般地，物体内各点的应变状态是不相同的，是位置坐标（x,y,z）的函数。

(ii)

在规定的坐标系中，一点的应变状态可由坐标轴向的线应变和坐标轴向间的切应变来确定，共有九个分量：并且：类似于应力张量，一点应变状态的张量表示为：（3-2）且为一二阶对称张量。3-3、应变分量与位移分量之间的微分关系—几何方程:应变是与位移有关的。物体中各质点相对位置的改变，则产生变形。因此要分析物体的变形，就要研究各点的位置的变化。1、单元体分析:

取物体中一点P(x,y,z)附近的单元体，在外力作用下产生变形。为了方便起见，分别按坐标面讨论。<i>Oxy平面：微元体pabd（六面体在xy平面上的投影部分）。xy1°变形前后各点位置坐标：

变形前变形后2°考察xy3°忽略二阶微量时,可求得应变分量为:（3-3）—P点沿x轴方向棱边pa的线应变：xyxy—P点沿y

轴方向棱边pb

的线应变：（3-4）考察，由于很小，故有xy—P点沿x,y

两垂直方向棱边角度的变化：**在以上的式子中，应注意到于是有：（3-5）<ii>类似地，在oyz

面分析，可求出：(3-6)(3-7)在ozx

面分析，可求出：(3-8)

2、几何方程:记：简记为：称为应变张量3-4、旋转分量与位移分量间的微分关系：1、定义：位移场的旋度由此得旋转分量：（3-9）（3-10）简记为：2、位移场分析：研究一微线段PQ的变化：变形前：变形后：位移分量是坐标的函数把采用多元函数的Taylor级数展开并略去二阶以上微量：其中为了表示成应变分量的关系，对作如下改写：（3-11）（3-12）（3-13）**分析位移分量的组成：第一项为微元段的刚性平移所产生的位移，即刚性平动。第二，三，四项为线应变和切应变所产生的位移，即纯变形。第五，六项为微元段的刚性转动所产生的位移，即刚体转动。当不考虑由于刚体平动和刚体转动产生的刚体位移时，写出只由于物体受力变形所引起的位移分量为：(3-14)简记为：(3-15)整理成设P、Q间的单元体变形后在xy坐标面上的投影为，只考虑刚性移动后的投影为，刚体绕平行于z轴的PC线旋转的角度可看作是对角线转动的角度3、旋转分量的得出：考察0xy平面微元体的变化情况：于是同理可证:即成立。或成立。4、相对位移张量:<i>定义：相对位移张量为由位移分量分别对坐标x,y,z变量的一阶偏导数所组成的张量。(3-16)<ii>定义：相对位移张量的分解：其中为应变张量，对称；为转动张量,反对称。数学上,任何一个二阶张量都可以唯一地分解成一个对称张量和一个反对称张量。(3-17)考虑到应变张量的对称性,有:例题：1、物体处于无应变状态,即试求位移分量。解：1°由应变和位移的关系:2°确定f1,f2,f3的函数形式:考察由此知:f1,f2,f3各函数中只含有一次项和常数项其中ai,bi,ci,di为常数。3°确定各系数ai，bi，ci，di

（i=1，2，3）于是有：d1=d2=d3=0，b1=-b2

c2=-c3b3=-c1

代入：不妨记：a1，a2，a3

分别为u0，v0，w0，表示刚体平动。b2=ωz

，c1=ωy，c3=ωx为刚体转动分量。则有：矩阵形式：矢量形式：其中：*参考理论力学中运动学分析的刚体运动部分。刚体的运动是刚体基点的平动和绕基点的转动的合成。3-5.应变状态分析1、目的：对一点的各个方向线应变和两垂直方向的切应变的分析，往往是为了分析应力，从工程实践上，经常进行的是变形的分析和测量（如电测实验）。同时，也是弹塑性理论基本方程的需要。2、应变状态分析：<i>给定坐标系下一点的应变状态，应变张量<iii>过P点任意两垂直方向间的剪应变：<ii>在过该点P的任一指定方向方向上的线应变（3-21）（3-22）1°可以求得过此点任一指定方向的线应变εN2°可以求得过此点任两个垂直方向的切应变:由此知，此点的应变状态已确定。3、结论：已知变形物体中某一点的应变分量则：3°表示一点的应变状态εij也是一个二阶对称张量：*与一点的应力状态比较：2、主应变确定：（i）在给定坐标中，一点的应变状态（ii）设定主方向：则由定义,主应变ε引起线段r的变形3-6主应变和应变不变量1、主应变的概念：一点的应变状态，存在过该点的方向，在该方向上任取微线段PQ，受力后的变形只沿该方向伸长或缩短，则定义此方向为主方向，其应变ε为主应变。类似于应力状态，一定存在三个相互垂直的形变方向，它们所形成的三个直角在形变之后保持为直角（即切应变为零），沿着这三个形变主方向的正应变称为主应变。即可写成：利用前面的讨论结论：不考虑刚体位移时，整理：（3-23）（3-24）3、应变特征方程：（3-25）展开：其中（3-26）（3-27）（3-28）（3-29）4、讨论：（i）由应变特征方程可求得ε的三个实根：ε1>ε2>ε3（ii）由主应变方程组可求出对应ε1、ε2、ε3的方向余弦:ε1:l1,m1,n1ε2:l2,m2,n2ε3:l3,m3,n3（iii）在主应变状态下，应变特征方程为：其中分别为第一、第二、第三应变不变量3-7位移边界条件1、提出：弹塑性力学的解要满足给定的边界条件。一般地，受力物体的边界分为两大部分，一部分是已知边界上的受力情况（包括不受外力的自由边界），一部分是给定边界上的位移和约束情况（如沉降，固定等），分别被称为外力边界和位移边界。外力边界条件：给出边界上外力与应力的关系：位移边界条件：给定边界上位移值：1、例题：（2）（1）AB边界：限定位移为零：弹性层：弹性半空间：AB边位移边界条件：3-8体积应变提出：组成物体的每个微元体不但形状发生了改变，而且它的体积也将发生改变，所以也要研究任一点附近的单位体积的变化。1、分析：

1°取单元体dxdydz.

变形前：dv=dxdydz

变形后：受力产生变形，是两种情况的叠加：纯剪切：只引起单元体的形状改变，不引起体积变化（由于剪切变形引起体积的改变是高阶微量，可以略去）拉(压)变形：引起体积的改变。2°只考虑由拉(压)变形引起的单元体体积改变：边长变化：变形后体积：3°体积应变定义：（3-30）显然，第一应变不变量J1具有明显的几何意义：J1

就是体积应变。4°考虑位移场的散度：即体积应变θ为位移场的散度。2、应变张量的分解：<i>当θ=0时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为：或（3-31）（3-32）其中1°εm=1/3(εx+εy+εz)为平均正应变分量。<ii>应变张量分解：（3-33）2°记为应变张量为偏斜应变张量，又称应变偏量为球形应变张量则有：（3-34）3°偏斜应变张量Ds的体积应变：（3-35）在偏斜应变状态下的体积应变为零，这在塑性力学中是很重要的一个结论。4°球形应变张量Dm的体积改变：（3-36）3、偏斜应变张量的不变量：（与应力偏量的不变量类比）显然，球形应变状态只改变其体积而不改变其形状。（3-37）（3-38）若x,y,z取为主应变方向，即主应变状态下偏斜应变张量的不变量为：（3-39）（3-40）3-10、应变率的概念：1、物体内各点的速度：对于物体内任一点P(x,y,z)，t时刻速度分量为:位移分量为2、应变对时间的变化率—应变率

考察故有应变率张量：3、一些固体材料在受温度不高和缓慢塑性变形时，其力学性质实际上与应变率关系不大，一般考虑的不是应变率，而是应变增量。记为（注意不是应变分量对坐标的微分）。3-11、变形协调方程：1、问题的提出：

1°根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。

2°由几何方程εij=1/2(uj,i+ui,j)可知，给定位移函数ui可唯一地确定应变分量εij3°由于εij=1/2(uj,i+ui,j)是导出关系，数学上它们之间并不是相互独立的，而存在着一定的相互制约关系。

4°物理上，相互独立的应变分量不能保证物体的连续性，物体内在变形时会出现分裂和重叠。2、变形协调关系—应变分量间的关系考虑几何关系：ABCDABC