高考数学一轮复习 第十章 概率 分层限时跟踪练55-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(五十五)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．(2015·韶关模拟)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)【解析】由2x－1≥0得x≥eq\f(1,2)，故所求概率P＝eq\f(2－\f(1,2),2－0)＝eq\f(3,4).【答案】A2．如图10­3­2，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过eq\r(2)R的概率是()图10­3­2A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)【解析】由题意知，当MN＝eq\r(2)R时，∠MON＝eq\f(π,2)，所以所求概率为1－eq\f(2×\f(π,2),2π)＝eq\f(1,2).【答案】D3．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A.eq\f(1,27)B.eq\f(26,27)C.eq\f(8,27)D.eq\f(1,8)【解析】正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率为P＝eq\f(V1,V)＝eq\f(1,27).【答案】A4.(2015·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A．1－eq\f(π,8) B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,2) D．1－eq\f(3π,4)【解析】函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝eq\f(2π×2π－π3,2π×2π)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4).【答案】B5．(2015·昌平模拟)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是()A.eq\f(4,13) B.eq\f(5,13)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)【解析】作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.∴P＝eq\f(S△AED,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25).【答案】D二、填空题6．(2015·烟台模拟)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，则cosx的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为________．【解析】当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，由0≤cosx≤eq\f(1,2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，由几何概型概率公式得P＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7．(2015·武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数，则这两数之和小于eq\f(6,5)的概率是________．【解析】设随机取出的两个数分别为x，y，则0＜x＜1,0＜y＜1，依题意有x＋y＜eq\f(6,5)，由几何概型知，所求概率为P＝eq\f(12－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5))),12)＝eq\f(17,25).【答案】eq\f(17,25)8．如图10­3­3所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM＜1的概率为________．图10­3­3【解析】因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM＜1”，则可得∠BAM＜∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)三、解答题9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M­ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率．【解】如图，正方体ABCD­A1B1C1D1.设M­ABCD的高为h，则eq\f(1,3)×SABCD×h＜eq\f(1,6)，又SABCD＝1，∴h＜eq\f(1,2)，即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝eq\f(\f(1,2)V正方体,V正方体)＝eq\f(1,2).10．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A，B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A，B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．【解】设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当|y－x|≤eq\f(1,6)时，姐弟俩会面，又正方形的面积为eq\f(1,4)，阴影部分的面积为eq\f(5,36)，所求概率P＝eq\f(\f(5,36),\f(1,4))＝eq\f(5,9).eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【解析】如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形，所以△ABD为钝角三角形的概率为eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).【答案】C2．(2015·佛山二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤12，,f－2≤4))为事件A，则事件A发生的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2b＋c≤12，,4－2b＋c≤4，,0≤b≤4，,0≤c≤4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c－8≤0，,2b－c≥0，,0≤b≤4，,0≤c≤4))表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为eq\f(1,2)，故选C.【答案】C3．如图10­3­4所示，图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是eq\f(1,4)，则此长方体的体积是________．图10­3­4【解析】设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝eq\f(2＋4h,2h＋22h＋1)＝eq\f(1,4)，解得h＝3或h＝－eq\f(1,2)(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.【答案】34.如图10­3­5，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是____________．图10­3­5【解析】如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S扇形OCD＝eq\f(π,4)，∴在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝eq\f(π,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P＝eq\f(π－1×2,π)＝1－eq\f(2,π).【答案】1－eq\f(2,π)5．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y≤19，,x≥1，,y≥1))所构成的三角形区域内，求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率．【解】画出关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y≤19，,x≥1，,y≥1，))所构成的三角形区域，如图，三角形ABC的面积为S1＝eq\f(1,2)×3×4＝6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2＝eq\f(1,2)π，所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P＝1－eq\f(\f(π,2),6)＝1－eq\f(π,12).6．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．【解】(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)试验的全部结果构的区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.设“一元二次方程没有实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝eq\f(1,4)×π×42＝4π.故所求的概率为P(B)＝eq\f(4π,16)＝eq\f(π,4).7．(2015·山西质量检测)如图10­3­6，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.图10­3­6规定：击中A，B，C，D区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．(1)甲射击时脱靶的概率为0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；(2)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.①乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；②乙、丙二人各射击一次，记U，V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U，V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获取(即U＜V)的概率．【解】(1)设甲射击一次得分为X，则X的所有可能取值为5,3,2,1,0，P(X＝5)＝eq\f(π,72π)×(1－0.02)＝0.02，P(X＝3)＝eq\f(32π－π,72π)×(1－0.02)＝0.16，P(X＝2)＝eq\f(52π－32π,72π)×(1－0.02)＝0.32，P(X＝1)＝eq\f(72π－52π,72π)×(1－0.02)＝0.48，P(X＝0)＝0.02，故X的数学期望E(X)＝5×0.02＋3×0.16＋2×0.32＋1×0.48＋0×0.02＝1.7.(2)①设乙、丙射击一次的得分分别为Y，Z，则Y的所有可能取值为5,3,2，Z的所有可能取值为5,3,2，P(Y＝5)＝eq\f(π,42π)＝eq\f(1,16)，P(Y＝3)＝eq\f(32π－π,42π)＝eq\f(8,16)，P(Y＝2)＝eq\f(42π－32π,42π)＝eq\f(7,16)，P(Z＝5)＝eq\f(π,52π)＝eq\f(1,25)，P(Z＝3)＝eq\f(32π－π,52π)＝eq\f(8,25)，P(Z＝2)＝eq\f(52π－32π,52π)＝eq