高考数学一轮复习 第四章 平面向量 分层限时跟踪练24-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(二十四)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．已知P，A，B，C是平面内四点，且Peq\o(A,\s\up10(→))＋Peq\o(B,\s\up10(→))＋Peq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))，那么一定有()A．Peq\o(B,\s\up10(→))＝2eq\o(CP,\s\up10(→)) B．Ceq\o(P,\s\up10(→))＝2eq\o(PB,\s\up10(→))C．Aeq\o(P,\s\up10(→))＝2eq\o(PB,\s\up10(→)) D．Peq\o(B,\s\up10(→))＝2eq\o(AP,\s\up10(→))【解析】∵Peq\o(A,\s\up10(→))＋Peq\o(B,\s\up10(→))＋Peq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))，∴Peq\o(A,\s\up10(→))＋Peq\o(B,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))－Peq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(P,\s\up10(→))＝Aeq\o(P,\s\up10(→))，∴Peq\o(B,\s\up10(→))＝2eq\o(AP,\s\up10(→))，故选D.【答案】D2．在△ABC中，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝2eq\o(DC,\s\up10(→))，Beq\o(A,\s\up10(→))＝a，Beq\o(D,\s\up10(→))＝b，Beq\o(C,\s\up10(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)【解析】因为在△ABC中，Beq\o(C,\s\up10(→))＝Beq\o(D,\s\up10(→))＋Deq\o(C,\s\up10(→))＝Beq\o(D,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(D,\s\up10(→))＝Beq\o(D,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)(Beq\o(D,\s\up10(→))－Beq\o(A,\s\up10(→)))＝eq\f(3,2)Beq\o(D,\s\up10(→))－eq\f(1,2)Beq\o(A,\s\up10(→))，所以c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.【答案】D3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－bC．a∥b D．a＝2b【解析】∵eq\f(a,|a|)表示与a同向的单位向量，eq\f(b,|b|)表示与b同向的单位向量，∴a与b必须方向相同才能满足eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|).故选D.【答案】D4．(2015·资阳模拟)已知向量Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a＋3b，Beq\o(C,\s\up10(→))＝5a＋3b，Ceq\o(D,\s\up10(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线【解析】∵Beq\o(D,\s\up10(→))＝Beq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(D,\s\up10(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2Aeq\o(B,\s\up10(→))，∴A，B，D三点共线．【答案】B5．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up10(→)) B．2eq\o(OM,\s\up10(→))C．3eq\o(OM,\s\up10(→)) D．4eq\o(OM,\s\up10(→))【解析】因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OM,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝2eq\o(OM,\s\up10(→))，故eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝4eq\o(OM,\s\up10(→)).【答案】D二、填空题6．在▱ABCD中，Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝b，Aeq\o(N,\s\up10(→))＝3Neq\o(C,\s\up10(→))，M为BC的中点，则Meq\o(N,\s\up10(→))＝(用a，b表示)．【解析】Meq\o(N,\s\up10(→))＝Meq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(D,\s\up10(→))－eq\f(1,4)Aeq\o(C,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)(a＋b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.【答案】－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b7．(2015·郑州模拟)已知△ABC和点M满足Meq\o(A,\s\up10(→))＋Meq\o(B,\s\up10(→))＋Meq\o(C,\s\up10(→))＝0，若存在实数m使得Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→))＝meq\o(AM,\s\up10(→))成立，则m＝.【解析】由Meq\o(A,\s\up10(→))＋Meq\o(B,\s\up10(→))＋Meq\o(C,\s\up10(→))＝0，易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，∴Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→))＝2Aeq\o(E,\s\up10(→))＝m·Aeq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(2m,3)·Aeq\o(E,\s\up10(→))，∴eq\f(2m,3)＝2，∴m＝3.【答案】38．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且Beq\o(C,\s\up10(→))＝a，Ceq\o(A,\s\up10(→))＝b，给出下列命题：①Aeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a－b；②Beq\o(E,\s\up10(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③Ceq\o(F,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④Aeq\o(D,\s\up10(→))＋Beq\o(E,\s\up10(→))＋Ceq\o(F,\s\up10(→))＝0.其中正确命题的序号为．【解析】Beq\o(C,\s\up10(→))＝a，Ceq\o(A,\s\up10(→))＝b，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Ceq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)a－b，Beq\o(E,\s\up10(→))＝Beq\o(C,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)Ceq\o(A,\s\up10(→))＝a＋eq\f(1,2)b，Ceq\o(F,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(Ceq\o(B,\s\up10(→))＋Ceq\o(A,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.∴Aeq\o(D,\s\up10(→))＋Beq\o(E,\s\up10(→))＋Ceq\o(F,\s\up10(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.∴正确命题为②③④.【答案】②③④三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝b，试用a，b表示Aeq\o(D,\s\up10(→))，Aeq\o(G,\s\up10(→)).【解】Aeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.Aeq\o(G,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(G,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(E,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(Beq\o(A,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→)))＝eq\f(2,3)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(Aeq\o(C,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Aeq\o(C,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？【解】∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．下列命题正确的是()A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λaB．在△ABC中，Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(A,\s\up10(→))＝0C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立D．向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线【解析】A不正确，当a＝b＝0时，有无数个实数λ满足b＝λa.B不正确，在△ABC中，Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(A,\s\up10(→))＝0.C不正确，当b＝0时，不等式||a|－|b||≤|a|＋|b|≤|a|＋|b|显然成立．D正确，∵向量a与b不共线，∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不平行，故选D.【答案】D2．(2015·大连双基测试)设O在△ABC的内部，且有Oeq\o(A,\s\up10(→))＋2Oeq\o(B,\s\up10(→))＋3Oeq\o(C,\s\up10(→))＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A．3B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(3,2)【解析】设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(Oeq\o(A,\s\up10(→))＋Oeq\o(C,\s\up10(→)))＋2(Oeq\o(B,\s\up10(→))＋Oeq\o(C,\s\up10(→)))＝0，即Oeq\o(M,\s\up10(→))＋2Oeq\o(N,\s\up10(→))＝0，所以Oeq\o(M,\s\up10(→))＝－2Oeq\o(N,\s\up10(→))，说明M，O，N共线，即O为中位线MN上的靠近N的三等分点，SAOC＝eq\f(2,3)SANC＝eq\f(2,3)·eq\f(1,2)SABC＝eq\f(1,3)SABC，所以eq\f(SABC,SAOC)＝3.【答案】A3．(2015·晋中模拟)如图4­1­4所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若Aeq\o(B,\s\up10(→))＝meq\o(AM,\s\up10(→))，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝neq\o(AN,\s\up10(→))，则m＋n的值为．图4­1­4【解析】∵O是BC的中点，∴Aeq\o(O,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→)))．又∵Aeq\o(B,\s\up10(→))＝meq\o(AM,\s\up10(→))，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝neq\o(AN,\s\up10(→))，∴Aeq\o(O,\s\up10(→))＝eq\f(m,2)Aeq\o(M,\s\up10(→))＋eq\f(n,2)Aeq\o(N,\s\up10(→)).∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1.则m＋n＝2.【答案】24．(2015·天津模拟)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若Deq\o(E,\s\up10(→))＝λ1Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λ2Aeq\o(C,\s\up10(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．【解析】如图，Deq\o(E,\s\up10(→))＝Deq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(E,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(C,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)(Aeq\o(C,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))＝－eq\f(1,6)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)Aeq\o(C,\s\up10(→))，则λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，λ1＋λ2＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)5．如图4­1­5所示，在△ABC中，Aeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Neq\o(C,\s\up10(→))，P是BN上的一点，若Aeq\o(P,\s\up10(→))＝meq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)Aeq\o(C,\s\up10(→))，求实数m的值．图4­1­5【解】如题图所示，Aeq\o(P,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(P,\s\up10(→))，∵P为BN上一点，则Beq\o(P,\s\up10(→))＝keq\o(BN,\s\up10(→))，∴Aeq\o(P,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋keq\o(BN,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋k(Aeq\o(N,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))，又Aeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Neq\o(C,\s\up10(→))，即Aeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)Aeq\o(C,\s\up10(→))，因此Aeq\o(P,\s\up10(→))＝(1－k)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(k,4)Aeq\o(C,\s\up10(→))，所以1－k＝m，且eq\f(k,4)＝eq\f(2,11)，解得k＝eq\f(8,11)，则m＝1－k＝eq