高考数学必胜秘诀

高考数学必胜秘诀

一一概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握

高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常

用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结

论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对木资料的认

真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

一、集合与简易逻辑

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如(1)设P、

Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+blaeP,bwQ},若尸={0,2,5},。={1,2,6},则P+Q中元素的

有个。(答：8)(2)设U={(x,y)IxeR,yeR},A={(x,y)i2x-y+/w>0},

B={(x,y)Ix+y-n<0},那么点P(2,3)e4D(C“8)的充要条件是(答：加>一1,〃<5)；(3)非

空集合S={1,2,3,4,5},且满足“若aeS,则6—aeS"，这样的S共有个(答：7)

2.遇到4口6=0时，你是否注意到“极端”情况：A=0或6=0：同样当AqB时，你是否忘记A=0

的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，如橐合A={xlax-1=0},

8={xlx2_3x+2=o},且AU8=B,则实数a=.(答：a=0,l,|)

3.对于含有〃个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2",2"-1,

T-1,2"-2.如满足{1,2}^M={1,2,3,4,5}集合乂有个。(答:7)

4.集合的运算性质：⑴AU8=4oBq4；(2)AnB=8oBaA；⑶=

林卫“8；⑷An“B=0o“A=B；(5)QAUB=U=A=8；(6)Cy(AAB)

fAUCuB；⑺&/(41^)=的40孰5.如设全集。={123,4,5},若4nB={2},(CyA)A5={4},

("加(如8)={1,5},则人=_____,B=_.(答:A={2,3］,8={2,4})

5.研究集合问题，一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素。如：{xly=Igx}一函数的定义域；

{yly=lgx}一函数的值域；{(x,y)ly=lgx}—函数图象上的点集，如(1)设集合M={xIy=J』},集

合N={yly=x2,xeM},则―(答：［4,+8))；(2)设集合M={£=(1,2)+4(3,4),/1eR},

N=0£=(2,3)+4(4,5),

2e/?},则MAN=(答：{(一2,-2)})

6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情

况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如G知函数/(%)=4--2(p-2)x-2p2-p+1

在区间［—1,1］上至少存在一个实数c,使/(c)>0,求实数p的取值范围。(答：(-3,京)

7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“--假

即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为

真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”

为假的必要不充分条件：⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是(答：

⑴⑶)

8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p"；否命题为“若「p贝U「q”；

逆否命题为“若「q则」p”。提醒：(1)互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；

逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否

命题时，要注意“非或即且，非且即或”；(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条

件和结论都否定，而命瞿的自定仅对命题的结论否定；(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般

利用等价关系=判断其真假，这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法？如(1)“在

△ABC中，若NC=90°,则NA、NB都是锐角”的否命题为(答：在AA6C中，若NC790",则

不都是锐角)；(2)已知函数/(x)=a'+±2,a>l,证明方程/(x)=0没有负数根。

x+1

9.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾)，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结

论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A18,则A是B的充分条件；若5WA,

则A是B的必要条件A=B,则A是B的充要条件。如(1)给出下列命题：①实数。=0是直线ax—2y=1

与2ax-2y=3平行的充要条件；②若a,bG=0是|a|+|fe|=|o+Z?|成立的充要条件；③已知x,y&R,

“若村=0,则x=0或y=0”的逆否命题是“若xwO或y工0则孙彳0"；④“若。和人都是偶数，则a+b

是偶数”的否命题是假命题o其中正确命题的序号是(答：①④)；(2)设命题p：I4x-3I<1；命题

q:X2-(26!+l)x+«(a+l)<0»^p是1q的必要而不充分的条件，则实数“的取值范围是(答:

叫)

10.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax>b的形式，若。>0,

bb

则1>一；若。<0,则1<一；若。=0,则当6<0时'xeR；当〃之0时，XG0O如已知关于x的不等式

aa

(a+b)x+(2a-3b)<0的解集为(-oo,-1),则关于x的不等式(a-3h)x+3一2a)>0的解集为(答:

{xlx<-3})

11.一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当△=()和△<()时的解集你会正确表示吗？设a〉0,苍,马

是方程af+bx+c=O的两实根，且当</，则其解集如下表：

ax1+Zzx+c>0ax2+bx+c>0ax2+/?x+c<0ax2+bx+c<0

A>0{尤lx<%或x〉/}{田工工须或工之/}{xlxj<x<x2}{xlXj<x<x2}

△=0।b、

r}R电{""=_勺

2a

A<0R

R。。

如解关于尤的不等式：ax2-(a+l)x+l<0»(答：当a=0时，x>l；当a<0时，x>l或x<』；当

a

0<。<1时，1cx<4；当<2=1时，XG0;当时，—<X<1)

aa

12.对于方程ax2+bx+c=0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0,其次若贝U

一定有△=从一4双20。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情

形？如：(1)(a-2)x2+2(a—2)x—l<0对一切xeR恒成立，则。的取值范围是_______(答：(1,2］)；

TT

(2)关于尤的方程/(x)=k有解的条件是什么？(答：keD,其中。为/(x)的值域)，特别地，若在［0,—］

内有两个不等的实根满足等式cos2x+Gsin2x=A+l,则实数攵的范围是.(答：［0,1))

13.一元二次方程根的分布理论。方程/。)=这2+法+。=03>0)在(上,+8)上有两根、在(九〃)上有两

根、在(-8次)和(4,+8)上各有一根的充要条件分别是什么？

A>0

(f(k)>0、f(k)<0)o根的分布理论成立的前提是开区间，若

b

-->k

、2a

在闭区间［加,〃］讨论方程/(x)=0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果,

再令x=〃和x=，〃检查端点的情况.如实系数方程/+ax+2b=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且

h-21

小于2,则一的取值范围是(答：(士，1))

a-14

14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程4/+或+。=0的两个根即为二次不

等式办2+bx+c>0(<0)的解集的端点值,也是二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标。如(1)

不等式4>ax+?的解集是(4,。)，贝Ua=(答：-)；(2)若关于x的不等式a/+以+c<0的

28

解集为(一8,〃?)1］(〃,+8),其中优v〃vO,则关于x的不等式ex?-法+。vO的解集为(答：

(-00,--L)U(-L+oo));⑶不等式3/一2版+140对工€［-1,2］恒成立，则实数匕的取值范围是(答:

mn

0)»

二、函数

1.映射/：AfB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯-；⑵B中元素不一定都

有原象，但原象不一定唯一。如(1)设广M-N是集合〃到N的映射，下列说法正确的是A、〃中每

一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在"中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯

一的D、N是M中所在元素的象的集合(答：A)；(2)点(a/)在映射/的作用下的象是(a-b,a+b),

则在/作用下点(3,1)的原象为点(答(2,-1))；(3)若4={1,2,3,4},B^{a,h,c},a,b,ceR,

则4到3的映射有个，8到A的映射有一个，A到8的函数有个(答：81,64,81)；(4)设集合

M={-l,0,l},2V={1,2,3,4,5},映射/:M—N满足条件“对任意的xeM,x+/(x)是奇数”，这样的映

射/有一个(答：12)；(5)设是集合A到集合B的映射，若8={1,2},则AflB一定是(答：

。或{1}).

2.函数/:A-»B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与X轴的垂线

至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如(1)已知函数/(x),X&F,那

么集合{(x,y)ly=/(x),xeF}n{(x,y)lx=l}中所含元素的个数有_____个(答：0或1)；(2)若函数

y=gx2—2x+4的定义域、值域都是闭区间［2,2切，则8=(答：2)

3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确

定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域

相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y=》2,值域为{4,1}的“天一函数”共

有个(答：9)

4.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)：

(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log“x中x>0,a>0且axl,三

角形中0<A〈乃，最大角N匹，最小角W工等。如(1)函数的定义域是一(答：

33lg(x-3)2

府+7「

(0,2川(2,3川(3,4))；(2)若函数丁=［---------的定义域为R,则kw_______(答：0,)；(3)函数/(x)

履+4攵x+3|_

的定义域是［。向，b>-a>0,则函数/(1)=/'(x)+/(-x)的定义域是(答：［a,-a］)；(4)设函

数/(x)=lg(ax2+2x+l),①若/(x)的定义域是R,求实数a的取值范围；②若/a)的值域是R,求实数a

的取值范围(答：①a〉l；②OWaWl)

(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。

(3)复合函数的定义域：若已知/(x)的定义域为［凡例，其复合函数/［g(x)］的定义域由不等式

aWg(x)4b解出即可；若已知/［g(x)］的定义域为［。,勿,求。(x)的定义域,相当于当xw［a,b］时，求g(x)的

值域(即/(X)的定义域)。如(1)若函数y=/(x)的定义域为；,2,则/(log2%)的定义域为

(答：卜I&<xW4卜；(2)若函数+1)的定义域为［-2,1),则函数/(x)的定义域为(答：［1,5］).

5.求函数值域(最值)的方法：

(1)配方法一一二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间［〃?,〃］上的最值；二是求

区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口

方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数y=V—2x+5,xe［—1,2］的值域（答：［4,8］）；

（2）当了€（0,2］时・，函数/。）=。/+4伍+1）*-3在》=2时取得最大值，则。的取值范围是—（答：

（3）已知/（%）=31'（24%44）的图象过点（2,1）,则F（x）="T（x）f-尸（Y）的值域为

（答：［2,55

（2）换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根

式或三角函数公式模型，如（1）y=2sin2x—3cosx—1的值域为（答：［-4,—］）；（2）y=2x+l+K^i

8

的值域为（答：（3,+8））（令=t>0,运用换元法时，要特别要注意新元/的范围）；（3）

y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为（答：［-1,-+V2］）;（4）y=x+4+，9—/的值域为（答:

2

［1,3>/2+4］）；

（3）函数有界性法一一直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域,

?qin—13'?<;in-1|

最常用的就是三角函数的有界性，如求函数丁=分吧」，y=—J，），=的值域（答:（-00,-］>

1+sin61+31+cos02

3

（0,1）、（-co,-］）；

2

（4）单调性法一一利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求

y=x—，（l<x<9）,y=sin2x+―,y=2"5+log3的值域为（答：（0,呢）、［口,9］、

x1+sin-x92

［2,10］）；

（5）数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已

知点P（x,y）在圆V+）,2=i上，求言］及2x的取值范围（答：［―#,管］、［—6,石］）；（2）求函数

y=J（x—2）2+J（X+8）2的值域（答：［10,+oo））；（3）求函数y=—6x+13+J/+4（+5及

y=正-6X+13-JX2+4X+5的值域（答：［J卫,+oo）、（-V26,V26））注意：求两点距离之和时,耍将

函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时,则要使两定点在x轴的同侧。

（6）判别式法一一对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方

法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：

①y型，可直接用不等式性质，如求y=—二的值域（答：（0,3］）

kx2+%2

hxXI

②,二丁竺一型，先化简，再用均值不等式，如（1）求y=—的值域（答：（-00二］）；（2）求

x+mx+n1+x2

函数y=Y等的值域（答：［0,1］）

+17］X-I-4-RY4-H

③y一-——型，通常用判别式法；如已知函数y=log3,的定义域为R,值域为［0,2］,

x-\-mx-\-nx+1

求常数根,〃的值（答：m=n=5）

@y=-_空一巴型，可用判别式法或均值不等式法，如求y=~~上」的值域（答：（-8,-3］UU+8））

nvc+nx+l

（7）不等式法一一利用基本不等式a+6N2J拓（凡6G/T）求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要

求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成

等差数列，X,仿,％,），成等比数列，则+的取值范围是.（答：（-8,0］U［4,+8））。

帅?

（8）导数法-----般适用于高次多项式函数，如求函数/（x）=2X3+4X2-40X,xe［-3,3］的最小值。（答:

—48）

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？

6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，

它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值/(%)时，一定首先要判断X。属于定义域的哪个子集，然后再代相

应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集，如(1)设函数

(X+1)2.(X<1)

/(x)=I一，则使得/(x)21的自变量x的取值范围是(答：(—oo,—2]U[0,10]);

4-Vx-l.(x>l)

(2)已知/(x)=F(X-0),则不等式》+(》+2)/«+2)45的解集是________(答：(-co,-])

[-1(x<0)2

7.求函数解析式的常用方法：

(1)待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)=ax2+bx+c；

2

顶点式：f(x)=a(x-m)+n；零点式：/(x)=a(x-x^x-x2)»要会根据已知条件的特点，灵活地选用二

次函数的表达形式)。如已知/(x)为二次函数，且f(x-2)=/(-x-2),且f(0)=1,图象在x轴上截得的线

段长为2J5,求/(x)的解析式。(答：/(J)=1X2+2X+1)

(2)代换(配凑)法一一已知形如/(g(x))的表达式，求/(x)的表达式。如(1)已知/(I—cosx)=siMx,

242

求/(/)的解析式(答：/(x)=-x+2x,xe[-V2,V2])；(2)若/(x—4)=x?+[,则函数

X厂

/(x-1)=(答：X2-2X+3)；(3)若函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当XG(0,+OO)时，

/(x)=x(l+F),那么当xe(—8,0)时，f(x)=(答：x(l-V^)).这里需值得注意的是所求解

析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。

(3)方程的思想一一已知条件是含有/(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，

从而得到关于/(x)及另外一个函数的方程组。如(1)已知”x)+2/(—x)=3x—2,求/(x)的解析式(答：

21

f(x)=-3x——)；(2)已知是奇函数，g(x)是偶函数，且/(x)+g(x)=——，则/5)=________(答:

3x-1

8.反函数：

(1)存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个)，值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定

存在反函数，但反之不成立；偶函数只有/(x)=0(x£{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数

y=f—2ax—3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是A、ae(-oo,l]B、ae[2,+oo)C、aE[\,2]

D、ae(-oo,1]U[2,+oo)(答：D)

(2)求反函数的步骤：①反求x；②互换x、y；③注明反函数的定义域(原来函数的值域)。注意函数

y=f(x+l)的反函数不是y=广|*+1)，W>=广小)-1。如设/()=(—)2(x>0).求/(x)的反函数f-\x)

xX

1_

(答:

r'w=\[x-I

(3)反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数/(x)满足条件

f(ax+3)=x，肿0，若/(x)的反函数/T(X)的定义域为，则/(x)的定义域是一

_aa

(答：[4,7]).

②函数y=/(X)的图象与其反函数y=幻的图象关于直线对称，注意函数),=/*)的图象与

X=的图象相同。如(1)已知函数)，=/(幻的图象过点(1,1),那么〃4-力的反函数的图象一定经过点

2x4-3

(答：(1,3))；(2)已知函数/(x)=------,若函数y=g(x)与y=/一(％+1)的图象关于直线y=%对

x-1

7

称，求g(3)的值(答：-)；

③f(a)=b=尸出)=a°如(1)已知函数/(x)=log(-+2),则方程广［幻=4的解x=(答:

.3X

1);(2)设函数人x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数f-'(x),/(4)=0,贝IJ/T(4)=一(答：-2)

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知"X)是R上的增函数，点A(-l,l),8(l,3)在

它的图象上，尸(x)是它的反函数，那么不等式|广(唾尸)|<1的解集为(答：(2,8))；

⑤设/(x)的定义域为A,值域为B,则有了"T(x)］=x(xeB),

(xeA),但/［尸⑴］工尸"(x)］。

9.函数的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判

定函数定义域是否关于原点对称。如若函数/(x)=2sin(3x+6),

xe［2a—5万,3a］为奇函数，其中，e(0,2/r),则。一。的值是_(答：0)；

(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：

Ir-41-4

①定义法：如判断函数y=/的奇偶性__(答：奇函数)。

A/9-X2

②利用函数奇偶性定义的等价形式：/(x)±/(-x)=0或△二"=±1(/(%)0)o如判断

/(x)

/(©nxlJl+g)的奇偶性—.(答：偶函数)

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

(3)函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若

有单调性，则其单调性恰恰相反.

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

③若/(x)为偶函数，则/(—划=/(》)=/(1〃).如若定义在R上的偶函数/(x)在(—8,0)上是减函数，

且/2)=2，则不等式/(log।x)>2的解集为______.(答：(0,0.5)U(2,+8))

38

④若奇函数/(x)定义域中含有0,则必有/(0)=0.故/(0)=0是/(X)为奇函数的既不充分也不必要条

件。如若/(x)=~—■=为奇函数，则实数。=(答：1).

2，+1

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差”如

设/(%)是定义域为R的任一函数，尸(x)=/(x)+/(r),G(x)=/")二〃二2。①判断尸J)与G(x)的奇

22

偶性；②若将函数/(x)=ig(i(r+1),表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数〃(了)之和，则g(x)=一(答:

①尸(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)=；x)

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个(/")=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

10.函数的单调性。

(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法(取值一一作差一一变形一一定号)、导数法(在区间(。力)内，若总有((x)>0,

则/(x)为增函数；反之，若/(x)在区间(a/)内为增函数，贝U/'(x)20,请注意两者的区别所在。如已知函

数在区间工+8)上是增函数,则a的取值范围是___(答:(0,3］))；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y=ax+2(〃>0

X

b>o)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(-%—JE］,［J5,+8),减区间为［_JE,O),(O,JE］.

如(1)若函数/(x)=F+2(a—l)x+2在区间(一8,4］上是减函数，那么实数a的取值范围是(答:

a<-3))；(2)已知函数f(x)=竺总在区间(—2,+8)上为增函数，则实数a的取值范围,_(答：(1,+oo));

(3)若函数/(x)=log]x+(—4](“>0,且awl)的值域为R,则实数a的取值范围是_____(答：0<。44

且aw1))；

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数y=log1(-/+2x)的单调递增区间是

2

(答：(1,2))。

(2)特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数/(x)=log〃(x2-ax+3)在区间(―8,自上为

减函数，求。的取值范围(答：(1,26))；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“U”和“或”；三是

单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示.

(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(①比较大小；②解不等式；③求参数范围).如已知奇函

1?

数/(x)是定义在(一2,2)上的减函数，若/(T?I-1)+/(2/H-1)>0,求实数机的取值范围。(答：一]<机<§)

11.常见的图象变换

①函数？=/(》+。)(。>0)的图象是把函数？=/(x)的图象沿x轴向左平移。个单位得到的。如设

/(x)=2'g(x)的图像与/(x)的图像关于直线y=x对称，〃(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得

到，则〃(x)为(答：/z(x)=-log2(x-l))

②函数y=/(x+a)((a<0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向右平移同个单位得到的。如(1)

若〃%+199)=4k+44+3,则函数/(x)的最小值为一(答：2)；(2)要得到y=lg(3—x)的图像，只需作

y=lgx关于轴对称的图像，再向—平移3个单位而得到(答：y；右)；(3)函数/(x)=x-lg(x+2)—1

的图象与x轴的交点个数有一个(答：2)

③函数y=f(x)+a(a>0)的图象是把函数y=/(x)助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；

④函数y=f(x)+a(a<0)的图象是把函数>-=/(x)助图象沿y轴向下平移时个单位得到的；如将函数

y="_+a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原图象关于直线y=x对称，那么

x+a

(4)〃=—⑻a=-T,b£R(C)a=l/wO(D)a=0,beR(答：C)

⑤函数y=/(")(。>0)的图象是把函数丁=/(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得到的。如(1)将函数

a

y=/(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的g(纵坐标不变)，再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，

所得图像对应的函数为(答：/(3x+6));(2)如若函数y=/(2x—1)是偶函数，则函数y=/(2x)的对

称轴方程是_______(答：x=--).

2

⑥函数y=af(x)(«>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

12.函数的对称性。

①满足条件/(》-。)=/3-3)的函数的图象关于直线工=巴*对称。如已知二次函数

/(x)=ax2+hx(a丰0)满足条件/(5-x)=/(x-3)且方程/(x)=x有等根，则/(x)=(答：

12、

--X+X);

2

②点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,>')；函数y=/(x)关于y轴的对称曲线方程为y=/(-x)；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y);函数y=/(j关于x轴的对称曲线方程为y=-/(x)；

④点(x,y)关于原点的对称点为(—x,—y)；函数y=/(x)关于原点的对称曲线方程为y=-/(-x)；

⑤点(x,y)关于直线y-±x+a的对称点为(土(y-a),±x+a)；曲线/(x,y)=0关于直线y=±x+a的对

称曲线的方程为/(±(y-a),+x+a)=0。特别地，点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)；雌f(x,y)=0

关于直线y=x的对称曲线的方程为f(y,x)

=0；点(羽y)关于直线y=-X的对称点为(-y,-x)；曲线于(x,y)=0关于直线y=-x的对称曲线的方程为

r-33

f(-y,-x)=0o如己知函数/(x)=/,(xw巳)，若y=/(x+1)的图像是勒，它关于直线y=x对称图像

2%-32

是关于原点对称的图像为。3,则对应的函数解析式是___________(答：y=----------)；

2x+l

⑥曲线/(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0,如若函数y=x2+x与

y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称，贝Ug(x)=(答：一/—7工一6)

⑦形如y=生士与(cWO,ad*〃c)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x=-土

cx+dc

(由分母为零确定)和直线y=2(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(-@,且)。如已知函数图象C'

CCC

与C:y(x+a+l)=a七/+1关于直线y=x对称，且图象C'关于点(2,-3)对称，则〃的值为(答:

2)

⑧l/(x)l的图象先保留/(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去

x轴下方的图象得到；/(Ixl)的图象先保留/(x)在)，轴右方的图象，擦去)，轴左方的图象，然后作出y轴右

方的图象关于y轴的对称图形得到。如(1)作出函数y=1log2(x+1)।及y=旗21x+11的图象：(2)若函数/(x)

是定义在R上的奇函数，则函数尸(x)=|/(x)|+/(W)的图象关于一对称(答：y轴)

提醒：(1)从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问

题(2)证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像匕(3)证

明图像G与G的对称性，需证两方面：①证明£上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在G上；②证

明C,上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在G上。如(1)已知函数f(x)=x+1一♦(ae/?)。求证:

a-x

函数/(x)的图像关于点M(a,—1)成中心对称图形：(2)设曲线C的方程是y=Y—X,将C沿x轴，y轴正方

向分别平行移动单位长度后得曲线G。①写出曲线G的方程(答：y=(x—f)3—(x—f)+s)；②证明曲线

C与G关于点对称。

13.函数的周期性。

(1)类比“三角函数图像''得：

①若V=/(x)图像有两条对称轴x=a,x=b(a*b),则y=/(x)必是周期函数，且一周期为

T=2la—6；

②若y=/(x)图像有两个对称中心A(a,0),3S,0XaHb),则y=/(x)是周期函数，且一周期为

T=2la—人1；

③如果函数>•=/(x)的图像有一个对称中心A(a,O)和一条对称轴x=b(a^b),则函数y=/(x)必是周期函

数，且一周期为T=4ia—6；

如已知定义在R上的函数/(x)是以2为周期的奇函数，则方程/(x)=0在［-2,2］上至少有个

实数根(答：5)

(2)由周期函数的定义“函数/(x)满足/(x)=/(a+x)(a〉0),则/(x)是周期为。的周期函数”得：

①函数f(x)满足—/(x)=f(a+x),则/(x)是周期为2a的周期函数；

②若/(x+a)=―—(a工0)恒成立，则T=2a；

/(x)

③若/(x+a)=--L(awO)恒成立，则T=2a.

/(x)

如⑴设/(x)是(—8,+oo)上的奇函数，/(%+2)=-/(%),当0VxD1时,/(x)=x,则”47.5)等于

喀：-0.5);(2)定义在R上的偶函数/(x)满足/(x+2)=/(x),且在［—3,-2］上是减函数，若a,/?是

锐角三角形的两个内角，则/(sina),/(cos/?)的大小关系为(答：/(sina)>/(cos£))：(3)已知

/(x)是偶函数，且/⑴=993,g(x)=/(x-l)是奇函数，求/(2