江苏省南通市2012届高三数学学科基地密卷(一)

江苏省南通市2012届高三数学学科基地密卷(一)2012届南通市数学学科基地密卷(一)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为▲．2.已知全集，集合，则中最大的元素是▲．3．已知，若函数的最小正周期是2,则▲．4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是:▲．WhileWhile<10EndWhilePrint“”5．已知函数，，则的单调减区间是▲．6．在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：的概率为▲．7．P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．18．(本题满分16分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为（1）设∠CA1O=(rad)，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长。BBA1A2COA319．(本题满分16分)已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。（1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。20．(本小题满分16分)已知函数(1)求的单调区间；(2)若关于的不等式对一切都成立，求范围；(3)某同学发现：总存在正实数使，试问：他的判断是否正确；若正确，请写出的范围；不正确说明理由．数学Ⅱ（附加题）23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.2.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.二．[必做题]每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．3.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？PNMABC（PNMABC4.已知数列满足：.（Ⅰ）求证：使；（Ⅱ）求的末位数字.数学参考答案1.2.33.－14.285.6.的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为7.解析：焦点=,而的最小值是8.(3)(4)9.210当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，则，计算得=11.，12.设点的坐标为，∵，∴．整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以13.若则不符合题意，若则于是，亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。14.由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得15．解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y1）、B(2＋x,y2），因为eq\f((－x)＋(2＋x),2)=1f(－x)=f(2＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，∴x≥1时，f(x)是增函数；x≤1时，f(x)是减函数。（2）∵eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b)=（sinx，2）·（2sinx,eq\f(1,2)）=2sin2x＋1≥1，eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d)=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))＞f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0≤x≤π∴＜x＜综上所述，不等式f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))＞f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))的解集是：{x|＜x＜}。16．解：(Ⅰ)证明：∵，∴.又∵,是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.(Ⅱ)证明：∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面.过作交于，则平面.∵平面，∴.∵，∴四边形平行四边形，∴，∴，又，∴四边形为正方形，∴，又平面，平面,∴⊥平面.∵平面,∴.(Ⅲ)∵平面，，∴平面，由（2）知四边形为正方形，∴.∴，17．解法一：（Ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，长轴长为4的椭圆，∴，又∵，． ∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意，可设直线为：．取得，直线的方程是直线的方程是交点为 若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为．②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．事实上，由，得即，记，则．设与交于点由得设与交于点由得， ∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．事实上，由，得即，记，则．的方程是的方程是消去得…… ①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证……………… ②∵∴②式恒成立．这说明，当变化时，点恒在定直线上．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得即．记，则．的方程是的方程是 由得 即 ．这说明，当变化时，点恒在定直线上．18.（Ⅰ）解：在△COA1中，BA1A2COBA1A2COA3=（）……7分（Ⅱ），令，则………………12分当时，；时，，∵在上是增函数∴当角满足时，y最小，最小为；此时BCm…16分19解：（1）由已知，得，∴（2）由得则，∴，即，于是有，并且有，∴即，而是正整数，则对任意都有，∴数列是等差数列，其通项公式是。（3）∵∴；由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。20．（1）定义域∴∴在递增，递减（2）由题eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)∴时，时，时，数学Ⅱ（附加题）参考答案1．解：矩阵M的特征多项式为=.令得矩阵M的特征值为－1和3.当所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.当所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.2．解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.∴当时，，当时，.3．解：（1）以