高考数学大二轮复习 能力升级练（二十二）函数与方程思想 文-人教版高三数学试题

能力升级练(二十二)函数与方程思想一、选择题1.若2x+5y≤2-y+5-x,则有()A.x+y≥0 B.x+y≤0 C.x-y≤0 D.x-y≥0解析把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y=2x-5-x,其为R上的增函数,所以有x≤-y.答案B2.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(A.52 B.46+2 C.7+2 D.解析设Q(x,y),则该点到圆心的距离d=(=x=-9y2-12y∴当y=--122×dmax=-=50=52.∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax+r=52+2=62.答案D3.若a>1,则双曲线x2a2-y2A.(1,2) B.(2,5C.[2,5] D.(解析e2=ca2=a2+(a+1)2a2=1+1+1a即2<e<5.答案B4.已知函数f(x)=13x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,则an的最小值为(A.-1 B.1 C.23 D.-解析由题设,得a1=f(1)-c=13-ca2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-29a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-227又数列{an}是等比数列,∴-292=13-c×-227,又∵公比q=a3∴an=-2313n-1=-21且数列{an}是递增数列,∴n=1时,an有最小值a1=-23答案D5.如图,A是单位圆与x轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),OQ=OA+OP,四边形OAQP的面积为S,当OA·OPA.π6 B.π4 C.π3解析OA·OP+S=|OA|·|OP|cosθ+|OA|·|OP|sinθ=cosθ+sinθ=2sinθ+π4,当θ=π4时,OA·OP+S答案B二、填空题6.若方程sin2x+2sinx+a=0有解,则实数a的取值范围是.

解析令f(x)=sin2x+2sinx,则f(x)的值域是[-1,3],因为方程sin2x+2sinx+a=0有解,所以-1≤-a≤3,所以实数a的取值范围是[-3,1].答案[-3,1]7.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.

解析因为a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4,得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,a6=a2q4=1×22=4.答案48.设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为解析设点B的坐标为(x0,y0),∵x2+y2b2=∴F1(-1-b2,0),F2(∵AF2⊥x轴,∴A(1-b2,b∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3∴(-21-b2,-b2)=3(x0+1-b∴x0=-531-b2,∴点B的坐标为-531-b2,将点B-531-b2,-b23代入x2+y2b∴椭圆E的方程为x2+32y2=1答案x2+32y2=9.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足m∈[-2,2]的一切实数m都成立,则x的取值范围.

解析设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则不等式2x-1>m(x2-1)恒成立⇔f(m)<0恒成立.∴在-2≤m≤2时,f(m)<0⇔f解得7-12答案7-110.长度都为2的向量OA,OB的夹角为60°,点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上,OC=mOA+nOB,则m+n的最大值是解析建立平面直角坐标系,设向量OA=(2,0),向量OB=(1,3).设向量OC=(2cosα,2sinα),0≤α≤π3由OC=mOA+nOB,得(2cosα,2sinα)=(2m+n,3n),即2cosα=2m+n,2sinα=3n,解得m=cosα-13sinα,n=23故m+n=cosα+13sinα=233sinα+π3∈1,23答案2三、解答题11.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F1F2|=23.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M,(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求k1k解(1)因为2a=4,2c=23,所以a=2,c=3,所以b=1.所以椭圆E的方程为x24+y2=(2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.设D(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-8mk4k2+1,x1又M-mk,0,由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN,所以-8mk4k2+1=-mk,所以所以x1+x2=-2m